kmjp's blog

競技プログラミング参加記です

Codeforces #168 Div1. C. The Last Hole!

さてC。一見とっつきにくい幾何の問題なので、本番でもDより回答者少なかったね。
自分はどちらも解けなかったけど…。
というわけでEditorialを見てチャレンジ。
http://codeforces.com/contest/274/problem/C

問題

2次元座標中でN個の点が与えられる。
各点を中心に、T時間後に半径Tの円が描かれるとする。
途中、これらの円により周りに囲まれた領域ができる場合、その領域が埋まるまでの時間を答える。

解答

まずそのような領域ができる条件を考える。それは以下の通り。

  • 3点が鋭角3角形を成す場合。その時、3点の外心が3点から最も遠い点となるため、そこが最後に埋まる。
  • 4点が長方形をなす場合、その重心が最後に埋まる。

上記手順で最後に埋まる候補の点と半径を計算し、その他の円に覆われないものを選ぶ。
前者は、3点を選ぶのでO(N^3)。後者は4点を選ぶが、3点を選ぶとあと1点の座標が自動で決まるので、結局O(N^3)である。

struct hoge {
	double x,y,r;
	ll mask[2];
};
int N;
int X[101],Y[101];
map<pair<int,int>, int> Vs;
vector<hoge> cand;

void acute(int p1,int p2,int p3) {
	vector<int> L;
	L.push_back((X[p2]-X[p1])*(X[p2]-X[p1])+(Y[p2]-Y[p1])*(Y[p2]-Y[p1]));
	L.push_back((X[p3]-X[p2])*(X[p3]-X[p2])+(Y[p3]-Y[p2])*(Y[p3]-Y[p2]));
	L.push_back((X[p1]-X[p3])*(X[p1]-X[p3])+(Y[p1]-Y[p3])*(Y[p1]-Y[p3]));
	sort(L.begin(),L.end());
	
	if(L[0]+L[1] <= L[2]) return;
	// on same line
	if(abs(sqrt(L[0])+sqrt(L[1])-sqrt(L[2]))<0.00001) return;
	
	// 垂直二等分線
	double DX[2],DY[2],DZ[2];
	DX[0]=X[p2]-X[p1];
	DY[0]=Y[p2]-Y[p1];
	DZ[0]=((X[p2]*X[p2]-X[p1]*X[p1])+(Y[p2]*Y[p2]-Y[p1]*Y[p1]))/2.0;
	DX[1]=X[p3]-X[p1];
	DY[1]=Y[p3]-Y[p1];
	DZ[1]=((X[p3]*X[p3]-X[p1]*X[p1])+(Y[p3]*Y[p3]-Y[p1]*Y[p1]))/2.0;
	
	double DD=DX[0]*DY[1]-DY[0]*DX[1];
	hoge h;
	h.x=(DZ[0]*DY[1]-DY[0]*DZ[1])/DD;
	h.y=(-DZ[0]*DX[1]+DX[0]*DZ[1])/DD;
	h.r=sqrt((h.x-X[p1])*(h.x-X[p1])+(h.y-Y[p1])*(h.y-Y[p1]));
	h.mask[0]=h.mask[1]=0;
	h.mask[p1/50] |= 1LL<<(p1%50);
	h.mask[p2/50] |= 1LL<<(p2%50);
	h.mask[p3/50] |= 1LL<<(p3%50);
	cand.push_back(h);
	return;
	
}

void parp(int p1,int p2,int p3) {
	int q1=-1,q2,q3;
	double l;
	int l12 = (X[p2]-X[p1])*(X[p2]-X[p1])+(Y[p2]-Y[p1])*(Y[p2]-Y[p1]);
	int l23 = (X[p3]-X[p2])*(X[p3]-X[p2])+(Y[p3]-Y[p2])*(Y[p3]-Y[p2]);
	int l31 = (X[p1]-X[p3])*(X[p1]-X[p3])+(Y[p1]-Y[p3])*(Y[p1]-Y[p3]);
	
	if(l12+l23==l31) { q1=p2; q2=p1; q3=p3; l=sqrt(l31)/2;}
	if(l12+l31==l23) { q1=p1; q2=p2; q3=p3; l=sqrt(l23)/2;}
	if(l23+l31==l12) { q1=p3; q2=p2; q3=p1; l=sqrt(l12)/2;}
	if(q1==-1) return;
	
	int NX=X[q2]+X[q3]-X[q1];
	int NY=Y[q2]+Y[q3]-Y[q1];
	map<pair<int,int>, int>::iterator mit=Vs.find(make_pair(NX,NY));
	if(mit!=Vs.end()) {
		hoge h;
		h.x=(X[q2]+X[q3])/2.0;
		h.y=(Y[q2]+Y[q3])/2.0;
		h.r=l;
		h.mask[0]=h.mask[1]=0;
		h.mask[p1/50] |= 1LL<<(p1%50);
		h.mask[p2/50] |= 1LL<<(p2%50);
		h.mask[p3/50] |= 1LL<<(p3%50);
		h.mask[mit->second/50] |= 1LL<<(mit->second%50);
		
		cand.push_back(h);
	}
	
}


void solve() {
	int f,r,i,j,k,l,x,y,z;
	
	N=GETi();
	FOR(i,N) {
		X[i]=GETi();
		Y[i]=GETi();
		Vs.insert(make_pair(make_pair(X[i],Y[i]),i));
	}
	
	for(x=0;x<N;x++) for(y=x+1;y<N;y++) for(z=y+1;z<N;z++) {
		acute(x,y,z);
		parp(x,y,z);
	}
	
	double res=-1;
	for(vector<hoge>::iterator it=cand.begin();it!=cand.end();it++) {
		hoge h=*it;
		if(h.r<res) continue;
		
		int ng=0;
		FOR(i,N) {
			if(h.mask[i/50]&(1LL<<(i%50))) continue;
			
			double rr=sqrt((h.x-X[i])*(h.x-X[i])+(h.y-Y[i])*(h.y-Y[i]));
			if(rr<h.r-1e-9) {
				ng=1;
				break;
			}
		}
		if(ng==0) res=h.r;
	}
	
	_P("%.9lf\n",res);
	
	return;
}

まとめ

外心を求める処理を1から書いたのでかなり苦労した。
2つの垂直二等分線を引いて連立方程式を解いている。
ほかの人は最初から円や線のライブラリを使ってるっぽいな…。

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