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kmjp's blog

競技プログラミング参加記です

TopCoder SRM 637 Div1 Hard ConnectingGame

適度にDiv2Hardと解き方が違っていて良いね。
http://community.topcoder.com/stat?c=problem_statement&pm=13503

問題

Div2 Hard同様、regionに分割されたH*Wのグリッドが与えられる。
TopCoder SRM 637 Div2 Hard ConnectingGameDiv2 - kmjp's blog

各regionを赤か青のどちらかで塗ったとき、赤いマスだけをたどって最上段から最下段に到達できず、かつ青いマスだけをたどって最左列から最右列に到達できないような塗り方が可能か判定せよ。

解法

Writerのブログエントリを参考に回答。
SRM637 - あなたは嘘つきですかと聞かれたら「YES」と答えるブログ

テストケース#0のように、異なるregionが4つ交わる格子点がある場合、左上と右下を赤、左下と右上を青で塗れば、どちらも到達できない。(以下のABCDの交わる点)

AAB
CCD

上記条件を言い換えると以下のようになる。
H*Wのグリッドに対し、セルの境界線からなる(H+1)*(W+1)頂点のグラフを考える。
グリッドの周辺部と、異なるregionの境界に容量1の辺を引いた場合、四隅の点に1ずつフローを流せるようなsourceはあれば、条件を満たす。

例えばテストケース#3からは以下のようなグラフを作れる。(ずれてたらコピペして等幅フォントで見てください)
╋をsourceに取れば、下のようなフローを流して4つに分割できることがわかる。

SSnukee
SKnuthe
SSSothe

┌─┬┬┬┬─┐
│┌┤│├╋┐│
│└┴┼┤│││
└──┴┴┴┴┘

◆───┐┌─◆
    └╋┐
     ││
◆────┘└◆

あとはグラフを作って、4つの辺を持つ頂点から4のフローを流せるか総当たりすればよい。

template<class V> class MaxFlow_dinic {
public:
	struct edge { int to,reve;V cap;};
	static const int MV = 1002;
	vector<edge> E[MV];
	int itr[MV],lev[MV];
	
	void add_edge(int x,int y,V cap) {
		E[x].push_back((edge){y,(int)E[y].size(),cap});
		//E[y].push_back((edge){x,(int)E[x].size()-1,0}); // directed
		E[y].push_back((edge){x,(int)E[x].size()-1,cap}); // undirect
	}
	
	void bfs(int cur) {
		MINUS(lev);
		queue<int> q;
		lev[cur]=0;
		q.push(cur);
		while(q.size()) {
			int v=q.front(); q.pop();
			ITR(e,E[v]) if(e->cap>0 && lev[e->to]<0) lev[e->to]=lev[v]+1, q.push(e->to);
		}
	}
	
	int dfs(int from,int to,V cf) {
		if(from==to) return cf;
		ITR(e,E[from]) if(e->cap>0 && lev[from]<lev[e->to]) {
			V f=dfs(e->to,to,min(cf,e->cap));
			if(f>0) {
				e->cap-=f;
				E[e->to][e->reve].cap += f;
				return f;
			}
		}
		return 0;
	}
	
	V maxflow(int from, int to) {
		V fl=0,tf;
		while(1) {
			bfs(from);
			if(lev[to]<0) return fl;
			ZERO(itr);
			while((tf=dfs(from,to,numeric_limits<V>::max()))>0) fl+=tf;
		}
	}
};


class ConnectingGame {
	public:
	int H,W;
	string isValid(vector <string> board) {
		int y,x,i;
		H=board.size();
		W=board[0].size();
		
		MaxFlow_dinic<int> mf;
		mf.add_edge(0,1000,1);
		mf.add_edge(W,1000,1);
		mf.add_edge(H*(W+1),1000,1);
		mf.add_edge(H*(W+1)+W,1000,1);
		
		FOR(x,W) {
			mf.add_edge(x,x+1,1);
			mf.add_edge(H*(W+1)+x,H*(W+1)+x+1,1);
		}
		FOR(y,H) {
			mf.add_edge(y*(W+1),(y+1)*(W+1),1);
			mf.add_edge(y*(W+1)+W,(y+1)*(W+1)+W,1);
		}
		
		FOR(y,H) FOR(x,W-1) if(board[y][x]!=board[y][x+1]) mf.add_edge(y*(W+1)+x+1,(y+1)*(W+1)+x+1,1);
		FOR(y,H-1) FOR(x,W) if(board[y][x]!=board[y+1][x]) mf.add_edge((y+1)*(W+1)+x,(y+1)*(W+1)+x+1,1);
		
		FOR(y,H-1) FOR(x,W-1) {
			if(board[y][x]==board[y][x+1]) continue;
			if(board[y][x]==board[y+1][x]) continue;
			if(board[y][x+1]==board[y+1][x+1]) continue;
			if(board[y+1][x]==board[y+1][x+1]) continue;
			if(board[y][x]==board[y+1][x+1]) continue;
			if(board[y+1][x]==board[y][x+1]) continue;
			
			MaxFlow_dinic<int> mf2=mf;
			if(mf2.maxflow((y+1)*(W+1)+(x+1),1000)==4) return "invalid";
		}
		return "valid";
	}
}

まとめ

面白いフローの作り方だった。

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