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kmjp's blog

競技プログラミング参加記です

yukicoder : No.155 生放送とBGM

本番、「これはARC#028で見た戻すDPだ!」まではわかったもののそこから正答まで至らず。
★4だよねこれ。
http://yukicoder.me/problems/183

問題

N種類の曲があり、それぞれの長さS[i]が与えられる。
これらの曲をランダムに並べ替え、N曲全体をループ再生する。
(並べ方はN!通りのうち1つが等確率で選択する)

L分の間に1回以上1秒でも再生される曲数の期待値を求めよ。

解法

ARC#028の戻すDPを用いる。
AtCoder Regular Contest 028 解説

L分がN曲分以上ある場合は全曲再生可能なのは明らか。
L分が曲の総長未満の場合を考える。

曲の並べ方はN!通り。
i番目の曲が再生されるケースは、i曲目を除いた(N-1)曲のうちあるx曲の合計がy秒(y<L*60)であるパターンがT[x][y]通りある場合、x曲の並びと残りの(N-1-x)曲の並びは任意なので T[x][y] * x! * (N-1-x)!通りである。
問題はそのようなTをどう求めるか。

ここで戻すDPを用いる。
まず普通にDPを行い、dp[曲数][総長]=(そのような曲の(並びを無視した)組み合わせ)を求める。
ここからi曲目分を戻し、T[x][y] = dp[x][y] - T[x-1][y-S[i]]でTを求める。

int N,L;
int S[100];
int sum;
double fact[100];

ll dp[22005][53];
ll dp2[22005][53];

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	fact[0]=fact[1]=1;
	for(i=2;i<=80;i++) fact[i]=fact[i-1]*i;
	
	scanf("%d%d",&N,&L);
	L*=60;
	FOR(i,N) {
		scanf("%d:%d",&x,&y);
		S[i]=x*60+y;
		sum+=S[i];
	}
	if(L>=sum) return _P("%d\n",N);
	
	dp[0][0]=1;
	FOR(i,N) {
		for(x=i;x>=0;x--) {
			FOR(y,22001) dp[min(22000,y+S[i])][x+1] += dp[y][x];
		}
	}
	
	double ret=0;
	FOR(i,N) {
		for(x=0;x<=N;x++) {
			for(y=0;y<=L+S[i]-1;y++) {
				dp2[y][x]=dp[y][x];
				if(y>=S[i] && x>0) dp2[y][x]-=dp2[y-S[i]][x-1];
				if(x<N && y<L) ret += dp2[y][x] * (fact[x] * fact[N-(x+1)]);
			}
		}
	}
	
	ret /= fact[N];
	_P("%.12lf\n",ret);
}

まとめ

アプローチ(戻すDP)自体はたどりついて、正答まで行かないの、応用力不足が露呈してへこむ。
いっそさっぱりわからない方が楽だ。

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