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kmjp's blog

競技プログラミング参加記です

yukicoder : No.223 1マス指定の魔方陣

yukicoder 興味深い

Writer解は超濃密な348byteかと思ったらそうでもなかった。
http://yukicoder.me/problems/558

問題

N*Nの魔方陣のうち、Y行目X列目の値がZであるものを1つ出力せよ。
ただしNは4,8,16のいずれかである。

解法

面倒な自分の本番解法と、Writerのあっさり解法を紹介。

がりがり実装法

X,Y,Zをとりあえず1ひいておき、0-originで考える。

まず、(Y%4)行目(X%4)列目が(Z%16)であるような4*4の魔方陣を作ろう。
これはWikipediaに解説がある。
魔方陣 - Wikipedia

この方法では、A~Eの5種類の行列(及びそれらを転置や回転したもの)を4つ用いて色々な魔方陣を作っている。
このうち(Y%4)行目(X%4)列目が(Z%16)となるものを1つ選べばよい。

N≧8の時、この4*4魔方陣から8*8魔方陣を作る。
これには以下のサイトのテクニックが使える。
8x8 Magic Square

このテクを使うと、4*4の魔方陣を4つ敷き詰め、一部に0,16,32,48を足すことで8*8の魔方陣が作れる。
図1の0,1,2,3を入れ替えた行列を用いることで、狙った場所に0,16,32,48のいずれかを加算できる・
これで(Y%8)行目(X%8)列目が(Z%64)の魔方陣が完成する。

N==16の時は、4*4魔方陣から8*8魔方陣を作るのと同じテクで8*8魔方陣から16*16魔方陣を作れる。

あっさり実装

1~(N*N)ではなく、0~(N*N-1)からなる魔方陣を考える。
この魔方陣全体に0~(N*N-1)の任意の数をxorで掛け合わせても魔方陣になる。

よって、No.217の要領でとりあえず適当なN*N魔方陣を作り、最後にY行X列がZ-1となるよう全体に同じ値をxorで掛け合わせ、最後に全体に1を足せばよい。

その他の解法

1つ魔方陣を作った上で、行のスワップ及び列のスワップを行い、Y行X列にZを持ってきたうえで、さらにスワップを(探索や乱択で)対角線の和が行や列の和と一致するまで繰り返してもよい。

また、完全方陣をずらしてY行X列にZを持ってくる手もあるようだ。

int N,X,Y,Z;
int pat[16][16];

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	cin>>N>>X>>Y>>Z;
	X--,Y--,Z--;
	
	FOR(y,N) FOR(x,N) {
		int tx=x%4,ty=y%4;
		if((tx%3==0)^(ty%3==0)) pat[y][x]=N*N-(y*N+x+1);
		else pat[y][x]=y*N+x;
	}
	
	int xorv=Z^pat[Y][X];
	FOR(y,N) FOR(x,N) _P("%d%c",(pat[y][x]^xorv)+1,(x==N-1)?'\n':' ');
}
int N,X,Y,Z;
int pat[16][16];
int pat2[16][16];


int get1(int a,int y,int x) {
	int patt[5][4][4]={
		{{1,1,0,0},{0,0,1,1},{1,1,0,0},{0,0,1,1}},
		{{1,0,1,0},{0,1,0,1},{0,1,0,1},{1,0,1,0}},
		{{1,1,0,0},{0,0,1,1},{0,0,1,1},{1,1,0,0}},
		{{1,1,0,0},{1,1,0,0},{1,0,1,0},{0,0,1,1}},
		{{0,1,0,1},{1,1,0,0},{0,0,1,1},{1,0,1,0}},
	};
	if(a<5) return patt[a][y][x];
	if(a<10) return patt[a-5][3-y][3-x];
	if(a<15) return patt[a-10][x][3-y];
	return patt[a-15][3-x][y];
}
int get2(int a,int b,int c,int d,int y,int x) {
	return get1(a,y,x)*8+get1(b,y,x)*4+get1(c,y,x)*2+get1(d,y,x);
}

void magic4(int yy,int xx,int zz) {
	int a,b,c,d;
	int y,x;
	FOR(a,20) FOR(b,20) FOR(c,20) FOR(d,20) {
		if(zz!=get2(a,b,c,d,yy,xx)) continue;
		set<int> S;
		FOR(y,4) FOR(x,4) pat[y][x]=get2(a,b,c,d,y,x), S.insert(pat[y][x]);
		if(S.size()!=16) continue;
		int ng=0;
		FOR(y,4) if(pat[y][0]+pat[y][1]+pat[y][2]+pat[y][3]!=30) ng++;
		FOR(x,4) if(pat[0][x]+pat[1][x]+pat[2][x]+pat[3][x]!=30) ng++;
		if(pat[0][0]+pat[1][1]+pat[2][2]+pat[3][3]!=30) ng++;
		if(pat[0][3]+pat[1][2]+pat[2][1]+pat[3][0]!=30) ng++;
		if(ng==0) return;
	}
	assert(0);
}

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	cin>>N>>X>>Y>>Z;
	X--,Y--,Z--;
	
	magic4(Y%4,X%4,Z%16);
	
	int p[4][4]={{0,3,1,2},{3,0,2,1},{1,2,0,3},{2,1,3,0}};
	
	if(N>=8) {
		FOR(y,4) FOR(x,4) pat[y+4][x+4]=pat[y+4][x]=pat[y][x+4]=pat[y][x];
		memmove(pat2,pat,sizeof(pat));
		FOR(i,4) {
			memmove(pat,pat2,sizeof(pat));
			FOR(y,8) FOR(x,8) pat[y][x] += 16*p[i^(y<4)][x/2];
			if(pat[Y%8][X%8]==Z%64) break;
		}
		
		if(N>=16) {
			FOR(y,8) FOR(x,8) pat[y+8][x+8]=pat[y+8][x]=pat[y][x+8]=pat[y][x];
			memmove(pat2,pat,sizeof(pat));
			FOR(i,4) {
				memmove(pat,pat2,sizeof(pat));
				FOR(y,16) FOR(x,16) pat[y][x] += 64*p[i^(y<8)][x/4];
				if(pat[Y][X]==Z) break;
			}
		}
	}
	FOR(y,N) FOR(x,N) _P("%d%c",pat[y][x]+1,(x==N-1)?'\n':' ');
	
}

まとめ

色々な解法があるんだな。
解法見て感動した。

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