Codeforces #310 Div1 E. Case of Computer Network

ちょっとややこしいが、個々のテクを理解していればEの割に簡単。
http://codeforces.com/contest/555/problem/E

問題

N頂点M辺のグラフが与えられる。
このM辺は有向辺であるが、どちらからどちらに遷移するかは与えられていない。

ここでQ個のクエリが与えられる。
各クエリは２頂点S[i],D[i]の対からなる。

M辺の向きを適切に設定することで、全クエリについてS[i]からD[i]への経路が存在するようにできるか判定せよ。

解法

まず全体を無向辺と見なしてUnion-Findで連結判定するほか、二重辺連結成分分解してしまおう。

S[i]・D[i]が同一二重連結成分内なら、有向辺で閉路を作れるので経路が存在できる。
S[i]・D[i]が無向辺において連結成分でないなら、経路は存在しえない。
残るは、S[i]・D[i]が無向辺において連結だが二重辺連結成分でない場合を処理しなければならない。

二重辺連結成分分解すると、各二重連結成分同士は森を構築することになる。
個々の木においてクエリが与えられると、２頂点間の辺の向きは一意に定まる。
よって、複数のクエリをすることでどこかの辺が両方向を向いてないといけない場合、解は「存在しない」となる。

上記処理を行うには、各クエリに対し頂点間の各辺の向きを設定しなければならない。
以下のコードでは、LCAを求めてS[i]→LCAまでの経路を根向き、LCA→D[i]の経路を葉向きに辺の向きを設定している。
愚直に各辺の向きを１つずつ設定するとクエリ１回毎にO(M)かかるので、imos法の要領で全クエリ分の向きを高速に設定している。

また、森の処理が手間だったので、ダミーの根頂点から各木に辺を張ることで、全体を単一の木と見なしている。

class SCC_BI {
public:
	static const int MV = 210000;
	int NV,time;
	vector<vector<int> > E;
	vector<int> ord,llink,inin;
	stack<int> roots,S;
	vector<int> M; //point to group
	vector<int> ART; // out
	vector<vector<int> > SC; // out
	vector<pair<int,int> > BR; // out
	
	void init(int NV=MV) { this->NV=NV; E.clear(); E.resize(NV);}
	void add_edge(int x,int y) { E[x].push_back(y); E[y].push_back(x); }
	void dfs(int cur,int pre) {
		int art=0,conn=0,i,se=0;
		ord[cur]=llink[cur]=++time;
		S.push(cur); inin[cur]=1; roots.push(cur);
		FOR(i,E[cur].size()) {
			int tar=E[cur][i];
			if(ord[tar]==0) {
				conn++; dfs(tar,cur);
				llink[cur]=min(llink[cur],llink[tar]);
				art += (pre!=-1 && ord[cur]<=llink[tar]);
				if(ord[cur]<llink[tar]) BR.push_back(make_pair(min(cur,tar),max(cur,tar)));
			}
			else if(tar!=pre || se) {
				llink[cur]=min(llink[cur],ord[tar]);
				while(inin[tar]&&ord[roots.top()]>ord[tar]) roots.pop();
			}
			else se++; // double edge
		}
		
		if(cur==roots.top()) {
			SC.push_back(vector<int>());
			while(1) {
				i=S.top(); S.pop(); inin[i]=0;
				SC.back().push_back(i);
				M[i]=SC.size()-1;
				if(i==cur) break;
			}
			sort(SC.back().begin(),SC.back().end());
			roots.pop();
		}
		if(art || (pre==-1&&conn>1)) ART.push_back(cur);
	}
	void scc() {
		SC.clear(),BR.clear(),ART.clear(),M.resize(NV);
		ord.clear(),llink.clear(),inin.clear(),time=0;
		ord.resize(NV);llink.resize(NV);inin.resize(NV);
		for(int i=0;i<NV;i++) if(!ord[i]) dfs(i,-1);
		sort(BR.begin(),BR.end()); sort(ART.begin(),ART.end());
	}
};

template<int um> class UF {
	public:
	vector<int> par,rank,cnt;
	UF() {par=rank=vector<int>(um,0); cnt=vector<int>(um,1); for(int i=0;i<um;i++) par[i]=i;}
	void reinit() {int i; FOR(i,um) rank[i]=0,cnt[i]=1,par[i]=i;}
	int operator[](int x) {return (par[x]==x)?(x):(par[x] = operator[](par[x]));}
	int count(int x) { return cnt[operator[](x)];}
	int operator()(int x,int y) {
		if((x=operator[](x))==(y=operator[](y))) return x;
		cnt[y]=cnt[x]=cnt[x]+cnt[y];
		if(rank[x]>rank[y]) return par[x]=y;
		rank[x]+=rank[x]==rank[y]; return par[y]=x;
	}
};

UF<500000> uf;

int N,M,Q;
int U[202020],V[202020];
vector<int> E[202020];
SCC_BI sb;

int P[21][200005],D[200005];
int up[202020],down[202020];

void dfs(int cur) {
	ITR(it,E[cur]) if(*it!=P[0][cur]) D[*it]=D[cur]+1, P[0][*it]=cur, dfs(*it);
}
void dfs2(int cur) {
	ITR(it,E[cur]) if(*it!=P[0][cur]) {
		dfs2(*it);
		up[cur]+=up[*it];
		down[cur]+=down[*it];
	}
	if(up[cur]>0 && down[cur]) {
		_P("No\n");
		exit(0);
	}
}

int lca(int a,int b) {
	int ret=0,i,aa=a,bb=b;
	if(D[aa]>D[bb]) swap(aa,bb);
	for(i=19;i>=0;i--) if(D[bb]-D[aa]>=1<<i) bb=P[i][bb];
	for(i=19;i>=0;i--) if(P[i][aa]!=P[i][bb]) aa=P[i][aa], bb=P[i][bb];
	return (aa==bb)?aa:P[0][aa];               // vertex
}


void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	cin>>N>>M>>Q;
	sb.init(N+1);
	
	FOR(i,M) {
		cin>>U[i]>>V[i];
		uf(U[i],V[i]);
		sb.add_edge(U[i],V[i]);
	}
	
	FOR(i,N) if(uf[i+1]==i+1) sb.add_edge(0,i+1);
	
	sb.scc();
	FOR(i,M) {
		if(sb.M[U[i]]!=sb.M[V[i]]) {
			E[sb.M[U[i]]].push_back(sb.M[V[i]]);
			E[sb.M[V[i]]].push_back(sb.M[U[i]]);
		}
	}
	N=sb.SC.size();
	dfs(0);
	FOR(i,19) FOR(x,N) P[i+1][x]=P[i][P[i][x]];
	while(Q--) {
		cin>>x>>y;
		if(uf[x]!=uf[y]) return _P("No\n");
		x=sb.M[x];
		y=sb.M[y];
		
		if(x==y) continue;
		l = lca(x,y);
		up[x]++;
		up[l]--;
		down[y]++;
		down[l]--;
	}
	dfs2(0);
	_P("Yes\n");
}

まとめ

森を適当に連結して木にするテク、とっさに思いついたけど意外と使えそう。