手抜き回答を反省せねば。
http://codeforces.com/contest/567/problem/E
問題
コスト付有向グラフが与えられる。
ここで頂点SからTに最短経路で移動することを考える。ただし最短経路が複数ある場合、どこを通るかわからない。
このグラフについて、各辺のコストを最小で1まで下げることができる。
各辺について、以下のどれに該当するか答えよ。
- 何もしなくても、この辺は必ず通る。
- コストをいくらか下げればこの辺は通る(その場合コストも答えよ)
- コストをどれだけ下げても通らない。
解法
まずはSから各頂点およびTから各頂点への移動コストをダイクストラ法で求めよう。
頂点A→Bに向かうコストCの辺が最短経路中にあるかどうかはdist(S,A)+C+dist(B,T)==dist(S,T)かどうかで判定できる。
最短経路中にないなら、dist(S,A)+C'+dist(B,T)==dist(S,T)-1となるようなコストC'までコストを下げる。
C'が1未満ならこの辺は通らない。
問題は、最短経路になりうるが必ず通るかわからない辺の判定である。
そのような辺は、コストを1下げることで必ず通るようになる。
これは(S→Aの経路数)×(B→Tの経路数)=(S→Tの経路数)であればこの辺は必ず通るといえる。
ただしこの計算は多倍長整数でないと正確にできない。
(適当な剰余を取って計算できるかもしれないが、経路数のDPは加算乗算を含むので狙い撃ちで落とすことができる。実際10^9+7や10^9+9の剰余だとsystestは通らず、10^9+21なら通った)
別の方法で必ずこの辺を通るか判定するには、二重辺連結成分分解を行いその辺が橋になるか判定すればよい。
class SCC_BI { public: static const int MV = 210000; int NV,time; vector<vector<int> > E; vector<int> ord,llink,inin; stack<int> roots,S; vector<int> M; //point to group vector<int> ART; // out vector<vector<int> > SC; // out vector<pair<int,int> > BR; // out void init(int NV=MV) { this->NV=NV; E.clear(); E.resize(NV);} void add_edge(int x,int y) { E[x].push_back(y); E[y].push_back(x); } void dfs(int cur,int pre) { int art=0,conn=0,i,se=0; ord[cur]=llink[cur]=++time; S.push(cur); inin[cur]=1; roots.push(cur); FOR(i,E[cur].size()) { int tar=E[cur][i]; if(ord[tar]==0) { conn++; dfs(tar,cur); llink[cur]=min(llink[cur],llink[tar]); art += (pre!=-1 && ord[cur]<=llink[tar]); if(ord[cur]<llink[tar]) BR.push_back(make_pair(min(cur,tar),max(cur,tar))); } else if(tar!=pre || se) { llink[cur]=min(llink[cur],ord[tar]); while(inin[tar]&&ord[roots.top()]>ord[tar]) roots.pop(); } else se++; // double edge } if(cur==roots.top()) { SC.push_back(vector<int>()); while(1) { i=S.top(); S.pop(); inin[i]=0; SC.back().push_back(i); M[i]=SC.size()-1; if(i==cur) break; } sort(SC.back().begin(),SC.back().end()); roots.pop(); } if(art || (pre==-1&&conn>1)) ART.push_back(cur); } void scc() { SC.clear(),BR.clear(),ART.clear(),M.resize(NV); ord.clear(),llink.clear(),inin.clear(),time=0; ord.resize(NV);llink.resize(NV);inin.resize(NV); for(int i=0;i<NV;i++) if(!ord[i]) dfs(i,-1); sort(BR.begin(),BR.end()); sort(ART.begin(),ART.end()); } }; int N,M,S[2]; int A[101010],B[101010]; ll L[101010]; vector<int> E[2][101010]; ll dist[2][101010]; SCC_BI scc; void solve() { int i,j,k,l,r,x,y; string s; cin>>N>>M>>S[0]>>S[1]; S[0]--,S[1]--; FOR(i,M) { cin>>A[i]>>B[i]>>L[i]; A[i]--,B[i]--; E[0][A[i]].push_back(i); E[1][B[i]].push_back(i); } FOR(i,2) { FOR(x,N) dist[i][x]=1LL<<60; priority_queue<pair<ll,int> > Q; dist[i][S[i]]=0; Q.push({-dist[i][S[i]],S[i]}); while(Q.size()) { auto r=Q.top(); Q.pop(); ll co=-r.first; int cur=r.second; if(dist[i][cur]!=co) continue; FORR(r,E[i][cur]) { int tar=(i==0)?B[r]:A[r]; if(dist[i][tar]>co+L[r]) { dist[i][tar]=co+L[r]; Q.push({-dist[i][tar],tar}); } } } } scc.init(N); FOR(i,M) { ll best=dist[0][S[1]]; ll my=dist[0][A[i]]+dist[1][B[i]]+L[i]; if(best==my) scc.add_edge(A[i],B[i]); } scc.scc(); set<pair<int,int> > br; FORR(r,scc.BR) br.insert(r); FOR(i,M) { ll best=dist[0][S[1]]; ll my=dist[0][A[i]]+dist[1][B[i]]+L[i]; if(best==my) { if(br.count({A[i],B[i]})) cout<<"YES"<<endl; else if(L[i]>1) cout<<"CAN 1"<<endl; else cout<<"NO"<<endl; } else if(dist[0][A[i]]+dist[1][B[i]]<best-1) cout<<"CAN "<<my-best+1<<endl; else cout<<"NO"<<endl; } }
まとめ
経路数計算は加算乗算を含むのでやたらにmodを取って対処するのは狙い撃ちできて危険。
覚えておこう…。