kmjp's blog

競技プログラミング参加記です

TopCoder SRM 682 Div1 Medium SuccessfulMerger

こちらは完全にコーナーケース見落としだった。
https://community.topcoder.com/stat?c=problem_statement&pm=13963

問題

N頂点N辺からなる連結グラフが与えられる。

頂点を町、辺を町をつなぐ道路と考える。
このグラフで1つの町を首都としたとき、以下を満たせるようにしたい。

  • 首都以外の2頂点を選んだ時、2頂点の経路上に必ず首都が存在する。

もちろん、元のグラフでこのような首都が存在するとは限らない。
そこで、いくつかの隣接する町同士を連結して町を作り、そこを首都とすることで条件を満たすようにしたい。
(首都にならない町は連結できない)

条件を満たすのに必要な首都を構成する町の最小連結数を求めよ。

解法

N頂点N辺なので、このグラフは1つだけ閉路が存在する。
閉路内の頂点群が題意を満たすためには、閉路がL頂点からなるとしてうち(L-1)頂点を連結しなければならない。

まず閉路を取り除くため、グラフを二重辺連結成分分解しよう。
二重辺連結成分分解して縮約したグラフを、元々閉路だった頂点群を根としたグラフと置く。

このグラフにおいて条件を満たすには、結局葉以外の頂点をすべて首都に連結しなければならない。
よって解はN-(葉の数)-2。
ただし閉路の各頂点がすべて閉路外の隣接点を持つ場合、元の閉路を成すL点はすべて首都でなければいけないので答えに1加算する。

以下は二重辺連結成分分解のクラスを張り付けているので長いけど、

class SCC_BI {
public:
	static const int MV = 101;
	int NV,time;
	vector<vector<int> > E;
	vector<int> ord,llink,inin;
	stack<int> roots,S;
	vector<int> M; //point to group
	vector<int> ART; // out
	vector<vector<int> > SC; // out
	vector<pair<int,int> > BR; // out
	
	void init(int NV=MV) { this->NV=NV; E.clear(); E.resize(NV);}
	void add_edge(int x,int y) { E[x].push_back(y); E[y].push_back(x); }
	void dfs(int cur,int pre) {
		int art=0,conn=0,i,se=0;
		ord[cur]=llink[cur]=++time;
		S.push(cur); inin[cur]=1; roots.push(cur);
		FOR(i,E[cur].size()) {
			int tar=E[cur][i];
			if(ord[tar]==0) {
				conn++; dfs(tar,cur);
				llink[cur]=min(llink[cur],llink[tar]);
				art += (pre!=-1 && ord[cur]<=llink[tar]);
				if(ord[cur]<llink[tar]) BR.push_back(make_pair(min(cur,tar),max(cur,tar)));
			}
			else if(tar!=pre || se) {
				llink[cur]=min(llink[cur],ord[tar]);
				while(inin[tar]&&ord[roots.top()]>ord[tar]) roots.pop();
			}
			else se++; // double edge
		}
		
		if(cur==roots.top()) {
			SC.push_back(vector<int>());
			while(1) {
				i=S.top(); S.pop(); inin[i]=0;
				SC.back().push_back(i);
				M[i]=SC.size()-1;
				if(i==cur) break;
			}
			sort(SC.back().begin(),SC.back().end());
			roots.pop();
		}
		if(art || (pre==-1&&conn>1)) ART.push_back(cur);
	}
	void scc() {
		SC.clear(),BR.clear(),ART.clear(),M.resize(NV);
		ord.clear(),llink.clear(),inin.clear(),time=0;
		ord.resize(NV);llink.resize(NV);inin.resize(NV);
		for(int i=0;i<NV;i++) if(!ord[i]) dfs(i,-1);
		sort(BR.begin(),BR.end()); sort(ART.begin(),ART.end());
	}
};

class SuccessfulMerger {
	public:
	int minimumMergers(vector <int> road) {
		int N=road.size();
		int i,root;
		SCC_BI bi;
		bi.init(N);
		
		set<int> S[51];
		int mp[51];
		int NE[51]={};
		
		FOR(i,N) bi.add_edge(i,road[i]), NE[i]++, NE[road[i]]++;
		bi.scc();
		
		int ret=N-2;
		FOR(i,bi.SC.size()) {
			FORR(r,bi.SC[i]) mp[r]=i;
			if(bi.SC[i].size()>1) {
				int ok=1;
				root=i;
				FORR(r,bi.SC[i]) if(NE[r]==2) ok=0;
				ret+=ok;
			}
		}
		FOR(i,N) if(mp[i]!=mp[road[i]]) {
			S[mp[i]].insert(mp[road[i]]);
			S[mp[road[i]]].insert(mp[i]);
		}
		
		FOR(i,bi.SC.size()) if(i!=root && S[i].size()==1) ret--;
		return ret;
		
	}
}

まとめ

「ただし閉路の各頂点が~~」の部分に気づかず1ミス。

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