kmjp's blog

競技プログラミング参加記です

Codeforces ECR #009: E. Thief in a Shop

想定解はこれでいいのかな。
http://codeforces.com/contest/632/problem/E

問題

N個の整数A[i]がある。
A内の整数を重複ありでK個選ぶ時、合計として取り得る値を列挙せよ。

解法

アナウンス時のコメント欄を見るとBit並列化でも解けるようだが、自分はFFTで解いた。
DPを多項式乗算と見なすテクを使う。

P(a) := A中にaが登場するなら1、しないなら0とする。
P(a)をx^kの係数とする多項式 F(x) = \sum_a P(a) \times x^aを考える。
 F(x)^Kを計算し、x^aの項が1以上であれば、合計としてaが取りうる。

あとはバイナリ法+FFTの容量でF(x)^Kを求めよう。
欲しいのは1以上かどうかだけなので、項数が大きくなりすぎないよう適宜注意する必要がある。
また、地味にTLが厳しいので、項数が少ないうちはFFT対象の次数を押さえ、計算時間を押さえよう。

int N,K;
int A[1011];

typedef complex<double> Comp;

vector<Comp> fft(vector<Comp> v, bool rev=false) {
	int n=v.size(),i,j,m;
	
	for(i=0,j=1;j<n-1;j++) {
		for(int k=n>>1;k>(i^=k);k>>=1);
		if(i>j) swap(v[i],v[j]);
	}
	for(int m=2; m<=n; m*=2) {
		double deg=(rev?-1:1) * 2*acos(-1)/m;
		Comp wr(cos(deg),sin(deg));
		for(i=0;i<n;i+=m) {
			Comp w(1,0);
			for(int j1=i,j2=i+m/2;j2<i+m;j1++,j2++) {
				Comp t1=v[j1],t2=w*v[j2];
				v[j1]=t1+t2, v[j2]=t1-t2;
				w*=wr;
			}
		}
	}
	if(rev) FOR(i,n) v[i]*=1.0/n;
	return v;
}

vector<Comp> MultPoly(vector<Comp> P,vector<Comp> Q,bool resize=false) {
	if(resize) {
		int maxind=0,pi=0,qi=0,i;
		int s=2;
		FOR(i,P.size()) if(norm(P[i])) pi=i;
		FOR(i,Q.size()) if(norm(Q[i])) qi=i;
		maxind=pi+qi+1;
		while(s*2<maxind) s*=2;
		P.resize(s*2);Q.resize(s*2);
	}
	P=fft(P), Q=fft(Q);
	for(int i=0;i<P.size();i++) P[i]*=Q[i];
	return fft(P,true);
}

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	cin>>N>>K;
	FOR(i,N) cin>>x, A[x]++;
	
	vector<Comp> P,Q;
	P.resize(1<<10);
	Q.resize(1<<10);
	P[0]=1;
	FOR(i,1001) if(A[i]) Q[i]=1;
	
	for(i=0;i<10;i++) {
		if(K&(1<<i)) {
			P=MultPoly(P,Q,true);
			FOR(x,P.size()) P[x]=(P[x].real()>0.5);
		}
		if(i<9) {
			Q=MultPoly(Q,Q,true);
			FOR(x,Q.size()) Q[x]=(Q[x].real()>0.5);
		}
	}
	
	FOR(x,P.size()) if(P[x].real()>=0.5) _P("%d ",x);
	
}

まとめ

もう少しN,K小さくてもいいと思うんだけどな。

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