kmjp's blog

競技プログラミング参加記です

TopCoder SRM 684 Div2 Hard Autohamil

問題文わかりにくすぎない…?
https://community.topcoder.com/stat?c=problem_statement&pm=14183

問題

N個の状態からなるオートマトンを考える。
このオートマトンは01からなるバイナリ列を処理する。

各状態iに対し、文字0,1を受け取った時の遷移先それぞれz0[i]・z1[i]が与えられる。
このオートマトンに対し、初期状態から始まり、全状態を最低1回ずつ経由するような文字列は存在するか。

解法

オートマトンとかはどうでもよくて、結局有効グラフにおいて全頂点を1回以上到達する経路があるかを求める問題になる。

まずは愚直解法から。
閉路の存在が面倒なので、まずは強連結成分分解してしまおう。
あとはトポロジカルソートの要領で各(縮約後の)頂点を辿り、全頂点を辿れる経路があるかチェックすればよい。

次にシンプル解法。
逆に全頂点辿れないケースはどんな場合か。
そもそも初期状態から全ての頂点にたどれないケースは、そもそも辿れない。

仮に初期状態から全頂点それぞれには到達可能なものの、全部を経由できないケースを考える。
2頂点A,Bに対し、A→BまたはB→Aの最低どちらかの経路があれば、どちらかを先にたどることで両方たどることができる。
ただ、どちらの経路もない場合、初期状態からA,Bのどちらかを経由するともう片方は到達できない。
こちらはWarshall-Floyed1回行えばいいので非常にコードが短い。

シンプル解法。

int mat[51][51];

class Autohamil {
	public:
	string check(vector <int> z0, vector <int> z1) {
		int N=z0.size();
		int i,j,k;
		ZERO(mat);
		FOR(i,N) mat[i][z0[i]]=mat[i][z1[i]]=mat[i][i]=1;
		FOR(k,N) FOR(i,N) FOR(j,N) mat[i][j] |= mat[i][k]&mat[k][j];
		FOR(i,N) if(mat[0][i]==0) return "Does not exist";
		FOR(i,N) FOR(j,N) if(!mat[i][j] && !mat[j][i]) return "Does not exist";
		return "Exists";
	}
}

愚直解法

class SCC {
public:
	static const int MV = 55;
	vector<vector<int> > SC; int NV,GR[MV],rev[MV];
private:
	vector<int> E[MV], RE[MV], NUM; int vis[MV];
public:
	void init(int NV) { this->NV=NV; for(int i=0;i<MV;i++) { E[i].clear(); RE[i].clear();}}
	void add_edge(int x,int y) { E[x].push_back(y); RE[y].push_back(x); }
	void dfs(int cu) { vis[cu]=1; for(int i=0;i<E[cu].size();i++) if(!vis[E[cu][i]]) dfs(E[cu][i]); NUM.push_back(cu); }
	void revdfs(int cu, int ind) { int i; vis[cu]=1; GR[cu]=ind; SC[ind].push_back(cu); rev[cu]=ind;
		FOR(i,RE[cu].size()) if(!vis[RE[cu][i]]) revdfs(RE[cu][i],ind);}
	void scc() {
		int c=0; SC.clear(); SC.resize(MV); NUM.clear();
		ZERO(vis); for(int i=0;i<NV;i++) if(!vis[i]) dfs(i);
		ZERO(vis); for(int i=NUM.size()-1;i>=0;i--) if(!vis[NUM[i]]){
			SC[c].clear(); revdfs(NUM[i],c); sort(SC[c].begin(),SC[c].end()); c++;
		}
		SC.resize(c);
	}
};

class Autohamil {
	public:
	int N;
	vector<int> E[51];
	vector<ll> M[51];
	
	string check(vector <int> z0, vector <int> z1) {
		int i,j;
		SCC sb;
		
		N=z0.size();
		sb.init(N);
		FOR(i,N) {
			sb.add_edge(i,z0[i]);
			if(z0[i]!=z1[i]) sb.add_edge(i,z1[i]);
			E[i].clear();
			M[i].clear();
		}
		sb.scc();
		
		FOR(i,N) {
			if(sb.rev[i]!=sb.rev[z0[i]]) E[sb.rev[i]].push_back(sb.rev[z0[i]]);
			if(sb.rev[i]!=sb.rev[z1[i]] && sb.rev[z0[i]]!=sb.rev[z1[i]]) E[sb.rev[i]].push_back(sb.rev[z1[i]]);
		}
		N=sb.SC.size();
		
		int in[51]={};
		FOR(i,N) FORR(r,E[i]) in[r]++;
		queue<int> Q;
		if(in[sb.rev[0]]==0) {
			M[sb.rev[0]].push_back(1LL<<sb.rev[0]);
			Q.push(sb.rev[0]);
		}
		
		while(Q.size()) {
			int cur=Q.front();
			Q.pop();
			
			sort(M[cur].begin(),M[cur].end());
			FOR(i,M[cur].size()-1) if(M[cur][i] & ~M[cur].back()) return "Does not exist";
			ll nmask=M[cur].back() | (1LL<<cur);
			if(nmask==(1LL<<N)-1) return "Exists";
			
			FORR(r,E[cur]) {
				M[r].push_back(nmask);
				if(--in[r]==0) Q.push(r);
			}
		}
		
		return "Does not exist";
	}
}

まとめ

最初愚直解法で自力で解いた後、writer解のシンプルさに愕然とした。
この全頂点を辿れる経路の条件、短いコードで解けた人にはよく知られた性質だったのかな。

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