kmjp's blog

競技プログラミング参加記です

KUPC2016 : J - 色塗り / Coloring

KUPCの中では一番戸惑った。
http://kupc2016.contest.atcoder.jp/tasks/kupc2016_j

問題

N頂点N辺の連結無向グラフが与えられる。
i番の頂点とA[i]番の頂点が互いに連結していることが分かっている。

各頂点をK色のいずれかで塗ることを考える。
頂点の色の塗り方は何通りあるか答えよ。
ただし頂点番号を並べ替えて同じとなる塗り方は同一とみなす。

解法

このグラフはなもりグラフとなる。
よって、まずは閉路を求め、かつ閉路中の頂点をそれぞれ根とする根付き木で、それぞれそこに閉路以外の頂点がつながる場合を考えよう。
後で同一形状判定をするので木の形状をハッシュ値などで管理しつつ、根付き木の色の塗り分け方を考える。

根付き木の処理が終わったら、あとは閉路内の回転と反転を考慮した数え上げを行おう。
回転に関しては、まずハッシュ値を使って閉路の最短周期を求めよう。
あとはポリアの数え上げ定理の要領で数え上げる。

問題は反転のケース。こちらもポリアの数え上げ定理で求める。
まず少なくとも1個以上反転軸があるかどうかを求めよう。
これは上記ハッシュ値列に対するローリングハッシュなどで求められる。
こうして反転軸が1個でもあった場合、そこで反転して0~(閉路長-1)だけ回転しても形状が一致するケースを列挙していこう。
反転軸が複数あったとしても、結局反転後0~(閉路長-1)回転するパターンを全部列挙するので反転軸の位置は問わない。

class SCC_BI {
public:
	static const int MV = 210000;
	int NV,time;
	vector<vector<int> > E;
	vector<int> ord,llink,inin;
	stack<int> roots,S;
	vector<int> M; //point to group
	vector<int> ART; // out
	vector<vector<int> > SC; // out
	vector<pair<int,int> > BR; // out
	
	void init(int NV=MV) { this->NV=NV; E.clear(); E.resize(NV);}
	void add_edge(int x,int y) { assert(NV);E[x].push_back(y); E[y].push_back(x); }
	void dfs(int cur,int pre) {
		int art=0,conn=0,i,se=0;
		ord[cur]=llink[cur]=++time;
		S.push(cur); inin[cur]=1; roots.push(cur);
		FOR(i,E[cur].size()) {
			int tar=E[cur][i];
			if(ord[tar]==0) {
				conn++; dfs(tar,cur);
				llink[cur]=min(llink[cur],llink[tar]);
				art += (pre!=-1 && ord[cur]<=llink[tar]);
				if(ord[cur]<llink[tar]) BR.push_back(make_pair(min(cur,tar),max(cur,tar)));
			}
			else if(tar!=pre || se) {
				llink[cur]=min(llink[cur],ord[tar]);
				while(inin[tar]&&ord[roots.top()]>ord[tar]) roots.pop();
			}
			else se++; // double edge
		}
		
		if(cur==roots.top()) {
			SC.push_back(vector<int>());
			while(1) {
				i=S.top(); S.pop(); inin[i]=0;
				SC.back().push_back(i);
				M[i]=SC.size()-1;
				if(i==cur) break;
			}
			sort(SC.back().begin(),SC.back().end());
			roots.pop();
		}
		if(art || (pre==-1&&conn>1)) ART.push_back(cur);
	}
	void scc() {
		SC.clear(),BR.clear(),ART.clear(),M.resize(NV);
		ord.clear(),llink.clear(),inin.clear(),time=0;
		ord.resize(NV);llink.resize(NV);inin.resize(NV);
		for(int i=0;i<NV;i++) if(!ord[i]) dfs(i,-1);
		sort(BR.begin(),BR.end()); sort(ART.begin(),ART.end());
	}
};

template<class V> struct RollingHash {
	static const ll mo0=1000000007,mo1=1000000009;
	static ll mul0,mul1;
	static const ll add0=1000010007, add1=1003333331;
	static vector<ll> pmo[2];
	V s; int l; vector<ll> hash_[2];
	void init(V s) {
		this->s=s; l=s.size(); int i,j;
		hash_[0]=hash_[1]=vector<ll>(1,0);
		if(!mul0) mul0=10009+(((ll)&mul0)>>5)%259,mul1=10007+(((ll)&mul1)>>5)%257;
		if(pmo[0].empty()) pmo[0].push_back(1),pmo[1].push_back(1);
		FOR(i,l) hash_[0].push_back((hash_[0].back()*mul0+add0+s[i])%mo0);
		FOR(i,l) hash_[1].push_back((hash_[1].back()*mul1+add1+s[i])%mo1);
	}
	pair<ll,ll> hash(int l,int r) { // s[l..r]
		if(l>r) return make_pair(0,0);
		while(pmo[0].size()<r+2)
			pmo[0].push_back(pmo[0].back()*mul0%mo0), pmo[1].push_back(pmo[1].back()*mul1%mo1);
		return make_pair((hash_[0][r+1]+(mo0-hash_[0][l]*pmo[0][r+1-l]%mo0))%mo0,
			             (hash_[1][r+1]+(mo1-hash_[1][l]*pmo[1][r+1-l]%mo1))%mo1);
	}
	pair<ll,ll> hash(V s) { init(s); return hash(0,s.size()-1); }
	static pair<ll,ll> concat(pair<ll,ll> L,pair<ll,ll> R,int RL) { // hash(L+R) RL=len-of-R
		while(pmo[0].size()<RL+2) pmo[0].push_back(pmo[0].back()*mul0%mo0), pmo[1].push_back(pmo[1].back()*mul1%mo1);
		return make_pair((R.first + L.first*pmo[0][RL])%mo0,(R.second + L.second*pmo[1][RL])%mo1);
	}
};
template<typename V> vector<ll> RollingHash<V>::pmo[2];
template<typename V> ll RollingHash<V>::mul0;
template<typename V> ll RollingHash<V>::mul1;

ll mo=1000000007;
int N,K;
vector<int> E[101010];
int inloop[101010];
SCC_BI bi;
vector<int> L;
ll H[101010],D[101010],RD[101010],RH[101010];
int phi[101010];

ll modpow(ll a, ll n=mo-2) {
	ll r=1;
	while(n) r=r*((n%2)?a:1)%mo,a=a*a%mo,n>>=1;
	return r;
}

ll comb(int P_,int Q_) {
	if(P_<0 || Q_<0 || Q_>P_) return 0;
	ll ret=1;
	Q_=min(Q_,P_-Q_);
	for(int i=1;i<=Q_;i++) ret=ret*(P_+1-i)%mo*modpow(i,mo-2)%mo;
	return ret;
}
ll hcomb(int P_,int Q_) { return (P_==0&&Q_==0)?1:comb(P_+Q_-1,Q_);};

void dfs2(int cur,int pre) {
	ll momo[2]={1000000007,1000000009};
	vector<ll> prim = {100291,100297,100313,100333,100343,100357,100361,100363,100379,100391};
	vector<pair<ll,ll>> V;
	
	FORR(r,E[cur]) if(r!=pre) {
		dfs2(r,cur);
		V.push_back({H[r],D[r]});
	}
	sort(ALL(V));
	
	int id=0,id2=1;
	ll a=1,b=1;
	FORR(r,V) {
		ll h=r.first>>32, l=r.first-(h<<32);
		(a+=h*prim[(id++)%prim.size()])%=momo[0];
		(b+=l*prim[(id2++)%prim.size()])%=momo[1];
	}
	H[cur]=(a<<32)+b;
	
	D[cur]=K;
	for(int i=0,num=1;i<V.size();i+=num) {
		num=1;
		while(i+num<V.size() && V[i+num-1]==V[i+num]) num++;
		D[cur] = D[cur] * hcomb(V[i].second,num) % mo;
	}
	
	return;
}

void dfs(int cur) {
	inloop[cur]=2;
	L.push_back(cur);
	int i;
	FOR(i,E[cur].size()) if(inloop[E[cur][i]]) {
		if(inloop[E[cur][i]]==1) dfs(E[cur][i]);
		E[cur].erase(E[cur].begin()+i);
		i--;
	}
	dfs2(cur,-1);
}



void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	cin>>N>>K;
	bi.init(N);
	FOR(i,N) {
		cin>>x;
		E[i].push_back(x-1);
		E[x-1].push_back(i);
		bi.add_edge(i,x-1);
	}
	bi.scc();
	FOR(i,bi.SC.size()) FORR(r,bi.SC[i]) inloop[r]=bi.SC[i].size()>1;
	FOR(i,N) if(inloop[i]) {
		dfs(i);
		break;
	}
	int minper=L.size();
	for(i=1;i<=L.size();i++) if(L.size()%i==0) {
		int ng=0;
		FOR(j,L.size()-i) if(H[L[j]]!=H[L[j+i]] || D[L[j]]!=D[L[j+i]]) ng=1;
		if(ng==0) {
			minper=i;
			break;
		}
	}
	
	ll ret=0;
	
	N=L.size();
	FOR(j,N) RD[j]=D[L[j]], RH[j]=H[L[j]];
	vector<ll> hv,hr;
	FOR(j,2*N) hv.push_back((RD[j%N]*2+RH[j%N])%mo);
	hr=hv;
	reverse(ALL(hr));
	RollingHash<vector<ll>> rhv,rhr;
	rhv.init(hv);
	rhr.init(hr);
	int sym=0;
	FOR(i,N) if(rhv.hash(i,i+N-1)==rhr.hash(N-1-i,N-1-i+N-1)) {
		sym=1;
		rotate(RH,RH+i,RH+N);
		rotate(RD,RD+i,RD+N);
		break;
	}
	
	for(i=1;i<=N/minper;i++) phi[__gcd(i,N/minper)]++;
	// non-symmetrix
	for(i=1;i<=N;i++) if(phi[i]) {
		ll DD=phi[i];
		FOR(j,i*minper) DD=DD*RD[j]%mo;
		ret += DD;
		
		if(sym==1) {
			ll DD=phi[i];
			FOR(j,N) {
				x = (2*N-j+(i-1)*minper)%N;
				if(j<=x) DD=DD*RD[j]%mo;
			}
			ret += DD;
		}
	}
	cout<<ret%mo*modpow((sym+1)*N/minper)%mo<<endl;
	

}

まとめ

だいぶ端折って書いたけど、これ丁寧に書くとかなりめんどい。

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