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kmjp's blog

競技プログラミング参加記です

AtCoder ARC #062 : F - AtCoDeerくんとグラフ色塗り / Painting Graphs with AtCoDeer

ARC

これ系は本番に解ける気がしないなぁ。
http://arc062.contest.atcoder.jp/tasks/arc062_d

問題

無向グラフが与えられ、各辺に色が塗られている。
閉路を構成するいくつかの辺があるとき、それらの色を回転させることができる。
この処理を繰り返し、得られる色の塗り方は何通りか。

解法

閉路を成さない辺同士は色を入れ替えることがない。
よって、二重頂点連結成分分解を行い、各連結成分毎に考えてその積を取ればよい。

各連結成分が:

  • 辺一本の場合:回転できないので組み合わせは1通り。
  • 単純なサイクルを成す場合:ポリアの定理の要領で回転させたとき何通りの塗り方があるか求める。
  • それ以外の場合:任意の入れ替えが可能なので、あとは単なる色を辺に割り当てる数を求めればよい。
int N,M,K;
vector<int> E[101];
int G[101];
ll mo=1000000007;
int NE[101];
ll pk[110];

// 二十頂点連結成分分解
template<int um> class UF {
	public:
	vector<int> par,rank,cnt;
	UF() {par=rank=vector<int>(um,0); cnt=vector<int>(um,1); for(int i=0;i<um;i++) par[i]=i;}
	void reinit() {int i; FOR(i,um) rank[i]=0,cnt[i]=1,par[i]=i;}
	int operator[](int x) {return (par[x]==x)?(x):(par[x] = operator[](par[x]));}
	int count(int x) { return cnt[operator[](x)];}
	int operator()(int x,int y) {
		if((x=operator[](x))==(y=operator[](y))) return x;
		cnt[y]=cnt[x]=cnt[x]+cnt[y];
		if(rank[x]>rank[y]) return par[x]=y;
		rank[x]+=rank[x]==rank[y]; return par[y]=x;
	}
};
UF<303030> uf;

class SCC_ART {
public:
	static const int MV = 210000;
	int NV,time;
	vector<vector<int> > E;
	vector<int> low,num,isart,gr;
	vector<pair<int,int>> ES;
	vector<vector<int> > SC; // out
	vector<int> ART; // out
	vector<set<pair<int,int>> > BE; // out, Edgeset
	UF<MV> uf;
	
	void init(int NV=MV) { this->NV=NV; E.clear(); E.resize(NV);}
	void add_edge(int x,int y) { E[x].push_back(y); E[y].push_back(x);}
	void dfs(int cur,int pre) {
		low[cur]=num[cur]=++time;
		FORR(e,E[cur]) {
			if(e!=pre && num[e]<num[cur]) ES.push_back({min(e,cur),max(e,cur)});
			if(num[e]) low[cur]=min(low[cur],num[e]);
			else {
				dfs(e,cur);
				low[cur]=min(low[cur],low[e]);
				if((num[cur]==1&&num[e]>2) || (num[cur]!=1&&low[e]>=num[cur])) isart[cur]=1;
				if(low[e]>=num[cur]) {
					BE.push_back(set<pair<int,int>>());
					while(1) {
						pair<int,int> te=ES.back();
						ES.pop_back();
						BE.back().insert(te);
						if(min(cur,e)==te.first && max(cur,e)==te.second) break;
					}
					
				}
			}
		}
		if(isart[cur]) ART.push_back(cur);
	}
	void scc() {
		ART.clear();uf.reinit();SC.clear();BE.clear();ES.clear();
		low=num=isart=gr=vector<int>(NV,0);
		for(int i=0;i<NV;i++) if(!num[i]) time=0,dfs(i,-1);
		sort(ART.begin(),ART.end());
		for(int i=0;i<NV;i++) FORR(r,E[i]) if(isart[i]==0 && isart[r]==0) uf(i,r);
		for(int i=0;i<NV;i++) if(uf[i]==i) gr[i]=SC.size(), SC.push_back(vector<int>());
		for(int i=0;i<NV;i++) gr[i]=gr[uf[i]], SC[gr[uf[i]]].push_back(i);
	}
};


SCC_ART scc;

ll modpow(ll a, ll n = mo-2) {
	ll r=1;
	while(n) r=r*((n%2)?a:1)%mo,a=a*a%mo,n>>=1;
	return r;
}
ll combi(ll N_, ll C_) {
	const int NUM_=400001;
	static ll fact[NUM_+1],factr[NUM_+1],inv[NUM_+1];
	if (fact[0]==0) {
		inv[1]=fact[0]=factr[0]=1;
		for (int i=2;i<=NUM_;++i) inv[i] = inv[mo % i] * (mo - mo / i) % mo;
		for (int i=1;i<=NUM_;++i) fact[i]=fact[i-1]*i%mo, factr[i]=factr[i-1]*inv[i]%mo;
	}
	if(C_<0 || C_>N_) return 0;
	return factr[C_]*fact[N_]%mo*factr[N_-C_]%mo;
}
ll hcomb(int P_,int Q_) { return (P_==0&&Q_==0)?1:combi(P_+Q_-1,Q_);}



void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	cin>>N>>M>>K;
	scc.init(N);
	FOR(i,M) {
		cin>>x>>y;
		E[x-1].push_back(y-1);
		E[y-1].push_back(x-1);
		scc.add_edge(x-1,y-1);
	}
	scc.scc();
	
	pk[0]=1;
	FOR(i,100) pk[i+1]=pk[i]*K%mo;
	
	ll ret=1;
	FORR(es,scc.BE) {
		set<int> S;
		
		FORR(e,es) S.insert(e.first),S.insert(e.second);
		
		if(es.size()==S.size()) {
			// simple cycle
			ll t=0;
			for(j=1;j<=S.size();j++) t+=pk[__gcd(j,(int)S.size())];
			ret = ret * (t%mo)%mo*modpow(S.size())%mo;
		}
		else {
			ret = ret*hcomb(K,es.size())%mo;
		}
	}
	cout<<ret<<endl;
	
	return;
}

まとめ

二重頂点連結成分分解のライブラリがないので解きようがなかった。

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