kmjp's blog

競技プログラミング参加記です

HackerRank 101 Hack 49 : E. Sorting Lists

手間取ったけど辛うじて解けた。
https://www.hackerrank.com/contests/101hack49/challenges/sorting-lists

問題

1次元の数直線上で、1~N番のN個の閉区間[A[i],B[i]]が与えられる。
実数xに対し、f(x) := xを含む区間の番号を昇順に並べてできる整数列 とする。
f(x)として生成できる数列群のうち、辞書順K番目のものを求めよ。

解法

部分和を求めるのと、RMQを処理する2種類の遅延伝搬SegTreeで解いた。
辞書順でものを求める定番テクとして、区間番号を先頭から見ていき、x番を含むものがK個以上あるなら解にxを含み、K個に満たないならKからその個数を引いてxを含まない、というように順に判定していくテクがある。
あとはこのある区間番号を含む数列が何個あるかを見ていこう。

まず、元の区間の座標を座標圧縮しておく。また、半開区間[A[i],B[i])として扱うと、実質f(x)のxは整数だけ考えればよく楽になる。
また、座標圧縮すると登場する区間の両端の数値が2N個程度に収まるので扱いやすい。

さて、まず以下を考える。
g(x) := f(x')=f(x)となるx'<xがあるなら0、ないなら1
座標圧縮をしたうえでxに整数しかとらない場合でも、xを変えてもf(x)が一致するケースがある。(例:区間[1,7],[3,5]に対し、f(2)とf(6)は同じ)
g(x)=1である場合、f(x)は初出な数列ということになる。
逆にg(x)=0となる場合、g(x')=1かつf(x')=f(x)となるx'が存在するので、そのようなxは無視してもよい。

g(x)の部分和を求めるSegTreeを作れば、ある区間に含まれるユニークなf(x)の数が容易に求められる。
g(x)を求めるには、区間番号に対するハッシュ値を累積和の要領で区間に掛け合わせることで、hash(f(x))を計算し、そのハッシュ値の同一性判定をすればよい。

g(x)の部分和が求められるようになったら、上に書いた「区間番号を先頭から見ていき~~」を行おう。
ただしその際の注意は、区間番号yを解に含んだ場合、それ以降の他の区間番号をいずれも含まないようなf(x)が存在する可能性があるので、その判定が必要である。
これはRMQを処理するSegTreeを用い、xに対するxを含む最大の区間番号を管理することで、大きな区間番号を含まないf(x)が存在するかどうか判定できる。

区間番号yを解に含む場合も含まない場合、選ばなかった側の区間は以後処理の対象外となるので、両SegTreeのそれらの区間の値は消しておくこと。

int N;
ll K;

int A[202020],B[202020];

static const ll mo0=1000000007,mo1=1000000009;
static ll add0=1000010007, add1=1003333331;

ll rev(ll a, ll mo) {
	ll r=1, n=mo-2;
	while(n) r=r*((n%2)?a:1)%mo,a=a*a%mo,n>>=1;
	return r;
}

template<int NV> class SegTree_Lazy {
public:
	vector<ll> val,mul;
	SegTree_Lazy(){val.resize(NV*2,0); mul.resize(NV*2,0);};
	ll comp(ll l,int r){ return l+r;};

	ll getval(int x,int y,int l=0,int r=NV,int k=1) {
		if(r<=x || y<=l) return 0;
		if(x<=l && r<=y) return mul[k];
		x=max(x,l);
		y=min(y,r);
		if(val[k]>=0) {
			return val[k]*(y-x);
		}
		return comp(getval(x,y,l,(l+r)/2,k*2),getval(x,y,(l+r)/2,r,k*2+1));
	}

	void update(int x,int y,int v,int l=0,int r=NV,int k=1) {
		if(l>=r) return;
		if(x<=l && r<=y) {
			val[k]=v;
			mul[k]=v*(r-l);
		}
		else if(l < y && x < r) {
			if(val[k]!=-1) {
				val[k*2]=val[k*2+1]=val[k];
				mul[k*2]=mul[k*2+1]=val[k]*(r-l)/2;
				val[k]=-1;
			}
			update(x,y,v,l,(l+r)/2,k*2);
			update(x,y,v,(l+r)/2,r,k*2+1);
			mul[k]=comp(mul[k*2],mul[k*2+1]);
		}
	}
};
SegTree_Lazy<1<<20> st;

static ll const def=1<<20;
template<class V,int NV> class SegTree_3 {
public:
	vector<V> val, ma;
	SegTree_3(){
		int i;
		val.resize(NV*2,def); ma.resize(NV*2,def);
		FOR(i,NV) val[i+NV]=ma[i+NV]=def;
		for(i=NV-1;i>=1;i--) ma[i]=min(ma[2*i],ma[2*i+1]);
	};
	
	V getval(int x,int y,int l=0,int r=NV,int k=1) {
		if(r<=x || y<=l) return def;
		if(x<=l && r<=y) return ma[k];
		if(val[k]>=0) return val[k];
		return min(getval(x,y,l,(l+r)/2,k*2),getval(x,y,(l+r)/2,r,k*2+1));
	}
	
	void update(int x,int y, V v,int l=0,int r=NV,int k=1) {
		if(l>=r) return;
		if(x<=l && r<=y) {
			val[k]=ma[k]=v;
		}
		else if(l < y && x < r) {
			if(val[k]>=0) {
				val[k*2]=val[k*2+1]=val[k];
				ma[k*2]=ma[k*2+1]=val[k];
				val[k]=-1;
			}
			update(x,y,v,l,(l+r)/2,k*2);
			update(x,y,v,(l+r)/2,r,k*2+1);
			ma[k]=min(ma[k*2],ma[k*2+1]);
		}
	}
};
SegTree_3<int,1<<20> st3;

ll hoge[404040][2];
set<pair<ll,ll>> S;
void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	add0=10009+(((ll)&add0)>>5)%259,add1=10007+(((ll)&add1)>>5)%257;
	
	cin>>N>>K;
	vector<int> MP;
	MP.push_back(-1);
	MP.push_back(1000000001);
	FOR(i,N) {
		cin>>A[i]>>B[i];
		MP.push_back(A[i]);
		MP.push_back(B[i]);
	}
	
	FOR(i,2*N+10) hoge[i][0]=hoge[i][1]=1;
	sort(ALL(MP));
	MP.erase(unique(ALL(MP)),MP.end());
	FOR(i,N) {
		A[i]=lower_bound(ALL(MP),A[i])-MP.begin();
		B[i]=lower_bound(ALL(MP),B[i])-MP.begin();
		hoge[A[i]][0] = hoge[A[i]][0]*(i+add0)%mo0;
		hoge[A[i]][1] = hoge[A[i]][1]*(i+add1)%mo1;
		hoge[B[i]][0] = hoge[B[i]][0]*rev(i+add0,mo0)%mo0;
		hoge[B[i]][1] = hoge[B[i]][1]*rev(i+add1,mo1)%mo1;
		st3.update(A[i],B[i],i+1);
	}
	
	S.insert({1,1});
	for(i=1;i<2*N+10;i++) {
		hoge[i][0]=hoge[i][0]*hoge[i-1][0]%mo0;
		hoge[i][1]=hoge[i][1]*hoge[i-1][1]%mo1;
		if(S.count({hoge[i][0],hoge[i][1]})==0) {
			st.update(i,i+1,1);
			S.insert({hoge[i][0],hoge[i][1]});
		}
	}
	K--;
	vector<int> V;
	FOR(i,N) {
		ll cnt=st.getval(A[i],B[i]);
		if(K<cnt) {
			V.push_back(i+1);
			st.update(0,A[i],0);
			st.update(B[i],2*N+10,0);
			st3.update(0,A[i],N+1);
			st3.update(B[i],2*N+10,N+1);
			if(st3.getval(A[i],B[i])==i+1) {
				if(K==0) break;
				else K--;
			}
		}
		else {
			K -= cnt;
			st.update(A[i],B[i],0);
			st3.update(A[i],B[i],N+1);
			
		}
	}
	
	_P("%d\n",V.size());
	FOR(i,V.size()) _P("%d%c",V[i],(i==V.size()-1)?'\n':' ');
}

まとめ

今回遅延伝搬SegTreeばかりだったんだけど想定解なのかな?

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