kmjp's blog

競技プログラミング参加記です

TopCoderOpen 2017 Round2C Medium AngelDemonGame

これは本番そこそこの速さできっちり解けきれたのでよかった。
https://community.topcoder.com/stat?c=problem_statement&pm=14405

問題

N頂点の無向グラフが与えられる。
ここで、AngelはA個、DemonはD個の頂点対を同時に選択したとする。

この時、元のグラフから以下のように新しいグラフが生成される。

  • Demon後手が選択した頂点対の間は、辺がない
  • Demonが選択していない頂点対について:
    • Angelが選択した頂点対の間は辺がある
    • AngelもDemonも選択していない頂点対の間は、元のグラフに辺があるなら辺がある

新しいグラフについて、Angelは頂点1とNを連結に、Demonは不連結にしようとする。
両者自身が確実に勝利する手順は存在するか判定せよ。

解法

A≧2という条件より、Angelがいずれかの頂点vに対し1→v→Nという辺を張ることができる。
よってDemonが勝つにはD≧N-1が必須である。この時、頂点1かNどちらかに出入りする辺を全滅させられるので、Demonは必勝である。
逆にD<N-1であればDemonの必勝はなくなる。

あとはAngelが必勝かどうかを判定するだけである。
前述のとおりD<N-1であればAngelはDemonの選択次第で勝利できることはあるが、必勝とするにはD本の辺がDemonに消されても連結状態を保てるようにしなければならない。
言い換えると、Angelが元のグラフに辺を追加し、頂点1→Nの最小カットがDを超えれるようにできればよい。

この問題は最小コストフローに帰着できる。
元々辺がある頂点間はコスト0、そうでない頂点間はコスト1の双方向の辺を張ろう。
ここにD+1のフローを流す。D<N-1より、コストさえかければ流せることは確定している。
この時、得られる最小コストは結局追加が必要な辺の数であり、これがA以下かどうかを判定すればよい。

int mat[51][51];
string DE="Demon",AN="Angel",UN="Unknown";

template<int NV,class V> class MinCostFlow {
public:
	struct edge { int to, capacity; V cost; int reve;};
	vector<edge> E[NV]; int prev_v[NV], prev_e[NV]; V dist[NV];
	void add_edge(int x,int y, int cap, V cost) {
		E[x].push_back((edge){y,cap,cost,(int)E[y].size()});
		E[y].push_back((edge){x,0, -cost,(int)E[x].size()-1}); /* rev edge */
	}
	
	V mincost(int from, int to, ll flow) {
		V res=0; int i,v;
		ZERO(prev_v); ZERO(prev_e);
		while(flow>0) {
			fill(dist, dist+NV, numeric_limits<V>::max()/2);
			dist[from]=0;
			priority_queue<pair<V,int> > Q;
			Q.push(make_pair(0,from));
			while(Q.size()) {
				V d=-Q.top().first;
				int cur=Q.top().second;
				Q.pop();
				if(dist[cur]!=d) continue;
				if(d==numeric_limits<V>::max()/2) break;
				FOR(i,E[cur].size()) {
					edge &e=E[cur][i];
					if(e.capacity>0 && dist[e.to]>d+e.cost) {
						dist[e.to]=d+e.cost;
						prev_v[e.to]=cur;
						prev_e[e.to]=i;
						Q.push(make_pair(-dist[e.to],e.to));
					}
				}
			}
			
			if(dist[to]==numeric_limits<V>::max()/2) return -1;
			int lc=flow;
			for(v=to;v!=from;v=prev_v[v]) lc = min(lc, E[prev_v[v]][prev_e[v]].capacity);
			flow -= lc;
			res += lc*dist[to];
			for(v=to;v!=from;v=prev_v[v]) {
				edge &e=E[prev_v[v]][prev_e[v]];
				e.capacity -= lc;
				E[v][e.reve].capacity += lc;
			}
		}
		return res;
	}
};

class AngelDemonGame {
	public:
	int N;
	string winner(vector <string> G, int A, int D) {
		MinCostFlow<50,int> mcf;
		
		N=G.size();
		if(D>=N-1) return DE;
		
		int x,y;
		FOR(x,N) FOR(y,N) if(x!=y) mcf.add_edge(x,y,1,G[x][y]=='N');
		if(mcf.mincost(0,N-1,D+1)<=A) return AN;
		return UN;
	}
}

まとめ

昔辺の追加を最小コストフローに帰着する問題どこかでやったな…evimaさんの問題だったかな?
当時は解けなかった。