これは本番そこそこの速さできっちり解けきれたのでよかった。
https://community.topcoder.com/stat?c=problem_statement&pm=14405
問題
N頂点の無向グラフが与えられる。
ここで、AngelはA個、DemonはD個の頂点対を同時に選択したとする。
この時、元のグラフから以下のように新しいグラフが生成される。
- Demon後手が選択した頂点対の間は、辺がない
- Demonが選択していない頂点対について:
- Angelが選択した頂点対の間は辺がある
- AngelもDemonも選択していない頂点対の間は、元のグラフに辺があるなら辺がある
新しいグラフについて、Angelは頂点1とNを連結に、Demonは不連結にしようとする。
両者自身が確実に勝利する手順は存在するか判定せよ。
解法
A≧2という条件より、Angelがいずれかの頂点vに対し1→v→Nという辺を張ることができる。
よってDemonが勝つにはD≧N-1が必須である。この時、頂点1かNどちらかに出入りする辺を全滅させられるので、Demonは必勝である。
逆にD<N-1であればDemonの必勝はなくなる。
あとはAngelが必勝かどうかを判定するだけである。
前述のとおりD<N-1であればAngelはDemonの選択次第で勝利できることはあるが、必勝とするにはD本の辺がDemonに消されても連結状態を保てるようにしなければならない。
言い換えると、Angelが元のグラフに辺を追加し、頂点1→Nの最小カットがDを超えれるようにできればよい。
この問題は最小コストフローに帰着できる。
元々辺がある頂点間はコスト0、そうでない頂点間はコスト1の双方向の辺を張ろう。
ここにD+1のフローを流す。D<N-1より、コストさえかければ流せることは確定している。
この時、得られる最小コストは結局追加が必要な辺の数であり、これがA以下かどうかを判定すればよい。
int mat[51][51]; string DE="Demon",AN="Angel",UN="Unknown"; template<int NV,class V> class MinCostFlow { public: struct edge { int to, capacity; V cost; int reve;}; vector<edge> E[NV]; int prev_v[NV], prev_e[NV]; V dist[NV]; void add_edge(int x,int y, int cap, V cost) { E[x].push_back((edge){y,cap,cost,(int)E[y].size()}); E[y].push_back((edge){x,0, -cost,(int)E[x].size()-1}); /* rev edge */ } V mincost(int from, int to, ll flow) { V res=0; int i,v; ZERO(prev_v); ZERO(prev_e); while(flow>0) { fill(dist, dist+NV, numeric_limits<V>::max()/2); dist[from]=0; priority_queue<pair<V,int> > Q; Q.push(make_pair(0,from)); while(Q.size()) { V d=-Q.top().first; int cur=Q.top().second; Q.pop(); if(dist[cur]!=d) continue; if(d==numeric_limits<V>::max()/2) break; FOR(i,E[cur].size()) { edge &e=E[cur][i]; if(e.capacity>0 && dist[e.to]>d+e.cost) { dist[e.to]=d+e.cost; prev_v[e.to]=cur; prev_e[e.to]=i; Q.push(make_pair(-dist[e.to],e.to)); } } } if(dist[to]==numeric_limits<V>::max()/2) return -1; int lc=flow; for(v=to;v!=from;v=prev_v[v]) lc = min(lc, E[prev_v[v]][prev_e[v]].capacity); flow -= lc; res += lc*dist[to]; for(v=to;v!=from;v=prev_v[v]) { edge &e=E[prev_v[v]][prev_e[v]]; e.capacity -= lc; E[v][e.reve].capacity += lc; } } return res; } }; class AngelDemonGame { public: int N; string winner(vector <string> G, int A, int D) { MinCostFlow<50,int> mcf; N=G.size(); if(D>=N-1) return DE; int x,y; FOR(x,N) FOR(y,N) if(x!=y) mcf.add_edge(x,y,1,G[x][y]=='N'); if(mcf.mincost(0,N-1,D+1)<=A) return AN; return UN; } }
まとめ
昔辺の追加を最小コストフローに帰着する問題どこかでやったな…evimaさんの問題だったかな?
当時は解けなかった。