kmjp's blog

競技プログラミング参加記です

AtCoder ARC #102 : E - Stop. Otherwise...

これ本番出てたら解けてたかわからんな。
https://beta.atcoder.jp/contests/arc102/tasks/arc102_c

問題

1~Kの目が出るサイコロがN個ある。
これらを振ったとき、2個の目の和がtとなるようなものがないケースを、t=2~2*Kの範囲それぞれで求めよ。
なお、互いのサイコロは区別されない。

解法

まずtが奇数の例を考える。
a+b=tかつa<bとなる(a,b)の対は、a,bどちらか片方の目しか含まれてはいけない。
片方の目だけなら、何個出てもよい。

このような(a,b)の組み合わせがp通りあるとし、うち片方の目が出たものq通りを総当たりしよう。
そのケースの解は \displaystyle 2^q*{}_p C_q*{}_{K-2p+q} H_{N-q}通りとなる。各項の意味は以下の通り。

  •  2^q: q通りにおいてa,bどちらを選択するか
  •  {}_p C_q: p通りの(a,b)の対からどのq個を選ぶか
  •  {}_{K-2p+q} H_{N-q}: N個のうち最低q個は先の(a,b)対の片方を選ばなければいけない。残り(N-q)個は、サイコロの目K通りから、先の(a,b)の対2p通りの目を引き、しかしq個の(a,b)対の片方は重複して選んでよいので、(K-2p+q)個の目から重複組み合わせの要領で選ぶことになる。

tが偶数の場合、t/2の目は0個か1個含んでよいので、それぞれのケースの和を求めよう。

int K,N;
ll mo=998244353;
ll p2[2020];

ll combi(ll N_, ll C_) {
	const int NUM_=400001;
	static ll fact[NUM_+1],factr[NUM_+1],inv[NUM_+1];
	if (fact[0]==0) {
		inv[1]=fact[0]=factr[0]=1;
		for (int i=2;i<=NUM_;++i) inv[i] = inv[mo % i] * (mo - mo / i) % mo;
		for (int i=1;i<=NUM_;++i) fact[i]=fact[i-1]*i%mo, factr[i]=factr[i-1]*inv[i]%mo;
	}
	if(C_<0 || C_>N_) return 0;
	return factr[C_]*fact[N_]%mo*factr[N_-C_]%mo;
}
ll hcomb(int P_,int Q_) { return ((P_==0&&Q_==0)?1:combi(P_+Q_-1,Q_));}

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	p2[0]=1;
	FOR(i,2010) p2[i+1]=p2[i]*2%mo;
	
	cin>>K>>N;
	for(i=2;i<=2*K;i++) {
		int p=0,q;
		for(j=1;j<=K;j++) if(j<i-j && i-j<=K) p++;
		ll ret=0;
		for(q=0;q<=min(N,p);q++) {
			if(i%2==0) {
				ret+=p2[q]*combi(p,q)%mo*(hcomb(K-2*p-1+q,N-q)+hcomb(K-2*p-1+q,N-q-1))%mo;
			}
			else {
				ret+=p2[q]*combi(p,q)%mo*hcomb(K-2*p+q,N-q)%mo;
			}
		}
		cout<<ret%mo<<endl;
	}
}

まとめ

組み合わせ問題で計算量を落とすの難しい。