これ本番出てたら解けてたかわからんな。
https://beta.atcoder.jp/contests/arc102/tasks/arc102_c
問題
1~Kの目が出るサイコロがN個ある。
これらを振ったとき、2個の目の和がtとなるようなものがないケースを、t=2~2*Kの範囲それぞれで求めよ。
なお、互いのサイコロは区別されない。
解法
まずtが奇数の例を考える。
a+b=tかつa<bとなる(a,b)の対は、a,bどちらか片方の目しか含まれてはいけない。
片方の目だけなら、何個出てもよい。
このような(a,b)の組み合わせがp通りあるとし、うち片方の目が出たものq通りを総当たりしよう。
そのケースの解は通りとなる。各項の意味は以下の通り。
- : q通りにおいてa,bどちらを選択するか
- : p通りの(a,b)の対からどのq個を選ぶか
- : N個のうち最低q個は先の(a,b)対の片方を選ばなければいけない。残り(N-q)個は、サイコロの目K通りから、先の(a,b)の対2p通りの目を引き、しかしq個の(a,b)対の片方は重複して選んでよいので、(K-2p+q)個の目から重複組み合わせの要領で選ぶことになる。
tが偶数の場合、t/2の目は0個か1個含んでよいので、それぞれのケースの和を求めよう。
int K,N; ll mo=998244353; ll p2[2020]; ll combi(ll N_, ll C_) { const int NUM_=400001; static ll fact[NUM_+1],factr[NUM_+1],inv[NUM_+1]; if (fact[0]==0) { inv[1]=fact[0]=factr[0]=1; for (int i=2;i<=NUM_;++i) inv[i] = inv[mo % i] * (mo - mo / i) % mo; for (int i=1;i<=NUM_;++i) fact[i]=fact[i-1]*i%mo, factr[i]=factr[i-1]*inv[i]%mo; } if(C_<0 || C_>N_) return 0; return factr[C_]*fact[N_]%mo*factr[N_-C_]%mo; } ll hcomb(int P_,int Q_) { return ((P_==0&&Q_==0)?1:combi(P_+Q_-1,Q_));} void solve() { int i,j,k,l,r,x,y; string s; p2[0]=1; FOR(i,2010) p2[i+1]=p2[i]*2%mo; cin>>K>>N; for(i=2;i<=2*K;i++) { int p=0,q; for(j=1;j<=K;j++) if(j<i-j && i-j<=K) p++; ll ret=0; for(q=0;q<=min(N,p);q++) { if(i%2==0) { ret+=p2[q]*combi(p,q)%mo*(hcomb(K-2*p-1+q,N-q)+hcomb(K-2*p-1+q,N-q-1))%mo; } else { ret+=p2[q]*combi(p,q)%mo*hcomb(K-2*p+q,N-q)%mo; } } cout<<ret%mo<<endl; } }
まとめ
組み合わせ問題で計算量を落とすの難しい。