kmjp's blog

競技プログラミング参加記です

Codeforces ECR #057: G. Lucky Tickets

ここまでヒント多かったしね。
https://codeforces.com/contest/1096/problem/G

問題

0~9のうち、指定したK個の数だけ利用し、N桁の数を作ることを考える。
leading zeroも許可される。
こうして作る数のうち、上位N/2桁の総和と下位N/2桁の総和が等しいものが何通りか。

解法

指定された数だけ使って作ったN/2桁の総和が何通りあるかを列挙しよう。
 P(x) = \sum_{i=0}^9 A_i X^i (Aiはiが指定された数なら1、指定されてないなら0)という多項式を考える。
P(x)^(N/2)のxのk乗の係数は、すなわちN/2桁の総和がkとなる組み合わせとなる。

よってあとはNTTでP(x)^(N/2)を求めよう。

int N,K;
int ok[10];

ll mo=998244353;
ll modpow(ll a, ll n = mo-2) {
	ll r=1;
	while(n) r=r*((n%2)?a:1)%mo,a=a*a%mo,n>>=1;
	return r;
}
vector<ll> fft(vector<ll> v, bool rev=false) {
	int n=v.size(),i,j,m;
	
	for(i=0,j=1;j<n-1;j++) {
		for(int k=n>>1;k>(i^=k);k>>=1);
		if(i>j) swap(v[i],v[j]);
	}
	for(int m=2; m<=n; m*=2) {
		ll wn=modpow(5,(mo-1)/m);
		if(rev) wn=modpow(wn);
		for(i=0;i<n;i+=m) {
			ll w=1;
			for(int j1=i,j2=i+m/2;j2<i+m;j1++,j2++) {
				ll t1=v[j1],t2=w*v[j2]%mo;
				v[j1]=t1+t2;
				v[j2]=t1+mo-t2;
				while(v[j1]>=mo) v[j1]-=mo;
				while(v[j2]>=mo) v[j2]-=mo;
				w=w*wn%mo;
			}
		}
	}
	if(rev) {
		ll rv = modpow(n);
		FOR(i,n) v[i]=v[i]*rv%mo;
	}
	return v;
}

vector<ll> MultPoly(vector<ll> P,vector<ll> Q,bool resize=false) {
	if(resize) {
		int maxind=0,pi=0,qi=0,i;
		int s=2;
		FOR(i,P.size()) if(P[i]) pi=i;
		FOR(i,Q.size()) if(Q[i]) qi=i;
		maxind=pi+qi+1;
		while(s*2<maxind) s*=2;
		P.resize(s*2);Q.resize(s*2);
	}
	P=fft(P), Q=fft(Q);
	for(int i=0;i<P.size();i++) P[i]=P[i]*Q[i]%mo;
	return fft(P,true);
}



void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	cin>>N>>K;
	vector<ll> V(10);
	FOR(i,K) {
		cin>>x;
		V[x]=1;
	}
	
	x=N/2;
	vector<ll> R(1,1);
	while(x) {
		if(x%2) R=MultPoly(R,V,true);
		x/=2;
		if(x) V=MultPoly(V,V,true);
	}
	
	ll ret=0;
	FOR(i,R.size()) ret+=R[i]*R[i]%mo;
	cout<<ret%mo<<endl;
}

まとめ

ここまで不自然に998244353が多かったし、どこかでNTT来ると思ったよ。