kmjp's blog

競技プログラミング参加記です

Educational DP Contest : Y - Grid 2

これ系ぱっと浮かばないなぁ。
https://atcoder.jp/contests/dp/tasks/dp_y

問題

H*Wのグリッドがあり、左上マスから右または下の隣接マスを辿り右下にたどり着きたい。
ただし途中N個の通れないマスがある。
移動方法は何通りか。

解法

これよりは少し簡単か。
yukicoder : No.767 配られたジャパリまん - kmjp's blog

包除原理の要領で解く。
f(k) := 通ってはいけないマスを少なくともk個通過しつつ左上から右下に移動する方法
とすると、解は \displaystyle \sum_{k=0}^N (-1)^k f(k)が解となる。
良く見ると、kの具体的な値は余り関係なくて、kの偶奇だけ考えればよい。

そこで、まずN個のマスを左上に近い順にソートしよう。
dp(k, b) := k個目の通ってはいけないマスを通る通り方のうち、通ったマスの数の偶奇がb(even or oddの2値)であるような経路の組み合わせ
これは直前のマスを総当たりすればO(N^2)で埋められる。

仮にN+1番目のマスを右下マスとおくとわかりやすく、f(b) = dp(N+1,not b)となるので、

int H,W,N;
int X[3030],Y[3030];
pair<int,int> P[3030];

ll dp[3030][2];
ll dpD[3030][3030];

ll mo=1000000007;
ll comb(ll N_, ll C_) {
	const int NUM_=400001;
	static ll fact[NUM_+1],factr[NUM_+1],inv[NUM_+1];
	if (fact[0]==0) {
		inv[1]=fact[0]=factr[0]=1;
		for (int i=2;i<=NUM_;++i) inv[i] = inv[mo % i] * (mo - mo / i) % mo;
		for (int i=1;i<=NUM_;++i) fact[i]=fact[i-1]*i%mo, factr[i]=factr[i-1]*inv[i]%mo;
	}
	if(C_<0 || C_>N_) return 0;
	return factr[C_]*fact[N_]%mo*factr[N_-C_]%mo;
}

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	cin>>H>>W>>N;
	FOR(i,N+2) {
		if(i==1) Y[i]=H-1,X[i]=W-1;
		else if(i>0) {
			cin>>Y[i]>>X[i];
			Y[i]--;
			X[i]--;
		}
		P[i]={X[i]+Y[i],X[i]};
	}
	N+=2;
	sort(P,P+N);
	FOR(i,N) {
		X[i]=P[i].second;
		Y[i]=P[i].first-P[i].second;
	}
	
	dp[0][0]=1;
	FOR(x,N) {
		for(y=x+1;y<N;y++) if(X[x]<=X[y] && Y[x]<=Y[y]) {
			ll pat=comb(X[y]+Y[y]-X[x]-Y[x],X[y]-X[x]);
			(dp[y][0]+=dp[x][1]*pat)%=mo;
			(dp[y][1]+=dp[x][0]*pat)%=mo;
		}
	}
	
	cout<<(dp[N-1][1]+mo-dp[N-1][0])%mo<<endl;
	
}

まとめ

最初座標圧縮しようかと思ったけどやめて良かった。