kmjp's blog

競技プログラミング参加記です

Codeforces ECR #059 : F. Vasya and Endless Credits

勉強になったけどすごく疲れた。
http://codeforces.com/contest/1107/problem/F

問題

車を買うために、N通りのクレジット会社から借金をすることを考える。
i番目のクレジット会社からは金額A[i]を借りることができる。その後1日毎に金額B[i]だけ、計K[i]日間取り立てられる。
1日の最初に、1つだけクレジット会社を選択して借金ができる。
また1つの会社で得られる借金は1回までである。

最適な順で借金をした場合、手持ちの金額の瞬間最大値はいくつか。

解法

最大値を達成するd日前に借金する場合、i番目のクレジット会社から得られる金額のうち最大値への寄与はA[i]-min(d,C[i])*B[i]である。
さて、ここで仮にN日かけてN個のクレジット会社からすべて借金することにする。
取り立てが厳しくA[i]-min(d,C[i])*B[i]がマイナスになるdもあるが、その場合その会社からは借金しなかったとみなそう。
i番目の会社をd日前に借金するときの寄与f(i,d) = max(0,A[i]-min(d,C[i])*B[i])となる。

N日それぞれN個のクレジット会社から借金するので、これは最大重み二部マッチングを求める問題と言い換えることができる。
最小コストフローでもアルゴリズム的には正しいが、相当効率が良くないとTLEする。

そこで自分はハンガリアン法で解いた。
一応計算量はO(N^3)だが、これでも結構ギリギリで計算をlong longにすると間に合わない。

ハンガリアン法は初めてで理解に苦労したが、以下が一番わかりやすかった。
http://www.cse.ust.hk/~golin/COMP572/Notes/Matching.pdf

template<class V> pair<ll, vector<int>> Hungarian(vector<vector<V>>& A) {
	const int MV=1010;
	int match[MV+1], vis[MV+1];
	
	int N=A.size();
	assert(A[0].size()==N && MV>=2*N);
	int y,x,i,j;
	vector<V> R(N),C(N,0);
	FOR(y,N) R[y]=*max_element(ALL(A[y]));
	
	MINUS(match);
	while(1) {
		retry:
		FOR(y,N) if(match[y]==-1) break;
		if(y==N) break;
		
		int tar=y;
		
		MINUS(vis);
		queue<int> Q;
		vector<int> S,T;
		Q.push(tar);
		
		FOR(y,N) T.push_back(y);
		ret2:
		while(Q.size()) {
			y=Q.front();
			Q.pop();
			if(vis[y]==-1) S.push_back(y);
			vis[y]=0;
			vector<int> T2;
			FORR(x,T) {
				if(A[y][x]==R[y]+C[x]) {
					vis[N+x]=y;
					if(match[N+x]==-1) { //交代路を張る
						int cur=N+x;
						while(1) {
							int nex=match[y];
							match[cur]=y;
							match[y]=cur;
							if(y==tar) goto retry;
							cur=nex;
							y=vis[cur];
						}
					}
					Q.push(match[N+x]);
				}
				else T2.push_back(x);
			}
			swap(T,T2);
		}
		//交代路が無い
		V dif=numeric_limits<V>::max();
		int ty=-1,tx=-1;
		FORR(y,S) FORR(x,T) if(R[y]+C[x]-A[y][x]<dif) {
			dif=R[y]+C[x]-A[y][x];
			ty=y,tx=x;
		}
		FOR(i,N) if(vis[i]>=0) R[i]-=dif;
		FOR(i,N) if(vis[i+N]>=0) C[i]+=dif;
		Q.push(ty);
		goto ret2;
	}
	
	vector<int> P;
	ll ret=0;
	FOR(y,N) P.push_back(match[y]-N), ret+=A[y][match[y]-N];
	return {ret,P};
	
}



int N;
ll A[505],B[505],C[505];
vector<vector<int>> V;

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	cin>>N;
	ll sum=0;
	FOR(i,N) {
		cin>>A[i]>>B[i]>>C[i];
		V.resize(i+1);
		FOR(x,N) V.back().push_back(A[i]-min(A[i],B[i]*min(x,(int)C[i])));
	}
	auto ret=Hungarian(V);
	cout<<ret.first<<" ";
}

まとめ

グラフ系のこういう定理苦手だ…。