kmjp's blog

競技プログラミング参加記です

天下一プログラマーコンテスト2019 : F - Banned X

これは時間切れ。
https://atcoder.jp/contests/tenka1-2019/tasks/tenka1_2019_f

問題

整数N,Xが与えられる。
0,1,2で構成されるN要素の数列のうち、部分列のどこにも総和がXとなるものが存在しないのは何通りか。

解法

1,2だけを並べて条件を満たすものが何通りか数えることを考える。
1,2の総数がわかっていれば、0の追加方法は二項係数で容易にわかる。

まず総和がX未満なものは列挙してしまおう。
次に、Xが奇数の場合、2だけで構成される数列は条件を満たすのでそれも数え上げる。

残りを考える。
総和がX以上のものを考えるので、ちょうどXとなる部分列が無いということは、prefixのうち(X-1)になるものが無ければならない。
そうするとその次に来るのは2であり、そうすると先頭も2でなければならない…。
と繰り返すと、prefixの総和が(X-1)となった以降はすべて2であり、同様にsuffixの総和が(X-1)となった以前はすべて2でなければならない。

先頭と末尾にi個2が並んでいるとする。そうすると2i<X-1で、かつ総和が(X-1-2i)となる数列の前後にi個ずつ2を並べた形となる。
よって、iを総当たりしつつ、中心部分の総和が(X-1-2i)となる部分の組み合わせを総当たりしよう(後者は内部の1の数を総当たりすればよい)。

int N,X;
ll mo=998244353;
ll comb(ll N_, ll C_) {
	const int NUM_=400001;
	static ll fact[NUM_+1],factr[NUM_+1],inv[NUM_+1];
	if (fact[0]==0) {
		inv[1]=fact[0]=factr[0]=1;
		for (int i=2;i<=NUM_;++i) inv[i] = inv[mo % i] * (mo - mo / i) % mo;
		for (int i=1;i<=NUM_;++i) fact[i]=fact[i-1]*i%mo, factr[i]=factr[i-1]*inv[i]%mo;
	}
	if(C_<0 || C_>N_) return 0;
	return factr[C_]*fact[N_]%mo*factr[N_-C_]%mo;
}


void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	cin>>N>>X;
	int n1,n2;
	ll ret=0;
	
	// S<X
	for(n1=0;n1<=N;n1++) for(n2=0;n1+n2<=N&&n1+n2*2<X;n2++) {
		(ret+=comb(N,n1)*comb(N-n1,n2))%=mo;
	}
	// all 2
	if(X%2) {
		for(n2=0;n2<=N;n2++) if(2*n2>X) (ret+=comb(N,n2))%=mo;
	}
	for(n2=1;n2<=N&&n2*2<X-1;n2++) {
		int lef=X-1-2*n2;
		for(n1=1;n1<=lef;n1++) {
			if((lef-n1)%2) continue;
			int n22=(lef-n1)/2;
			if(n1+n22+2*n2>N) continue;
			(ret+=comb(n1+n22,n22)*comb(N,n1+n22+2*n2))%=mo;
		}
	}
	cout<<ret<<endl;
}

まとめ

長い数列は両端に2が並ぶ、というのは思いついたけどそこから結構考察重いな。