AtCoder ABC #129 : F - Takahashi's Basics in Education and Learning

方針はすぐ立ったのに、バグを取るのに30分かかった…。
https://atcoder.jp/contests/abc129/tasks/abc129_f

問題

各要素が1～10^18に収まるような、公差が正である等差数列が与えられる。
各要素を順に連結した巨大な値に対し、Mで割った余りを求めよ。

解法

桁数が同じ部分をまとめて処理することを考える。
まず、等差数列において各桁の値の登場回数と最小値を求めよう。

あとは、同じ桁の数字を連結した部分は、等差数列×等比数列を取る。
今回Mが素数とは限らないので、等比数列の和を求める際に除算が利用できないが、等比数列の和を除算を用いず計算する方法として要素数を半々に分割していく方法がある。
例えば下記の問題でも扱っている。
AtCoder ARC #020 : C - A mod B Problem - kmjp's blog

等差数列×等比数列も同じような感じで計算できる。

ll L,A,B,mo;
ll F[20];
ll num[20];
ll p10[20];
ll S[20];

ll modpow(ll a, __int128 n) {
	ll r=1;a%=mo;
	while(n) r=r*((n%2)?a:1)%mo,a=a*a%mo,n>>=1;
	return r;
}

ll hoge(ll len,ll p) {
	if(len==0) return 0;
	if(len==1) return 1;
	ll a=modpow(p,len/2);
	ll v=hoge(len/2,p);
	if(len%2==0) {
		return v*(1+a)%mo;
	}
	else {
		return (v*(1+a)+a*a)%mo;
	}
}
ll hoge2(ll len,ll p) {
	if(len<=0) return 0;
	if(len==1) return 1;
	
	if(len%2==0) {
		ll a=modpow(p,len/2);
		ll v=hoge2(len/2,p);
		return (v*(1+a)+(len/2)%mo*hoge(len/2,p))%mo;
	}
	else {
		return (hoge2(len-1,p)+hoge(len,p))%mo;
	}
}


void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	cin>>L>>A>>B>>mo;
	
	p10[0]=1;
	FOR(i,19) p10[i+1]=p10[i]*10;
	
	ll w=L;
	ll v=A;
	for(i=1;i<=19;i++) if(v<p10[i] && w) {
		ll d=min(w,(p10[i]-v+B-1)/B);
		F[i]=v;
		num[i]=d;
		v+=B*d;
		w-=d;
	}
	ll c=1;
	ll ret=0;
	for(i=19;i>=1;i--) if(num[i]) {
		
		ll p=p10[i]%mo;
		ll n=num[i];
		ll a=F[i];
		
		ll r=(F[i]%mo*hoge(n,p)+B%mo*hoge2(n-1,p))%mo;
		ret+=r*c%mo;
		c=c*modpow(10,__int128(i)*num[i])%mo;
		
	}
	cout<<ret%mo<<endl;
}

まとめ

いや、自分は上記自分の記事なんて完全に忘れてたよ…。
幸い本番中に「そういや等比数列の和は長さを半々にして再帰的に求めるテクがあったな」と思い出せて、等差数列×等比数列もそのアレンジで解けた。