実装は手間取ったけど、方針はすぐに立った。
https://yukicoder.me/problems/no/907
問題
N要素の実数列C[i]を考える。
2つの整数列A,Bが与えられており、C[i]は[A[i],B[i]]の区間内の実数値のいずれかを等確率でとる。
Cが門松列(C[0]≦C[1]≧C[2]≦C[3]…)となる確率を求めよ。
解法
まず区間を座標圧縮し、高々2N個の小区間に分割しよう。
各[A[i],B[i]]はいくつかの連続した小区間を占めることになる。
C[i]とC[i+1]が異なる小区間に属するケースでは、DPで容易に数え上げることができる。
問題は同じ小区間に属するケースだが、これは以下の問題がヒントになる。
AtCoder AGC #020 : F - Arcs on a Circle - kmjp's blog
同じ区間にあるn個の連続する要素において、その並び順はn!あり、そのうちそのn個か門松列を満たす組み合わせが何通りあるかは、O(n^3)で事前に計算できる。
この値を持って、以下を計算していこう。
P(i,p,n) := Cのうち先頭i要素まで値が確定したとき、i要素目がp番目の小区間にあって、かつ直前n個の要素が同じ小区間内にある
隣接要素が異なる小区間にあるケースは、nの値は関係ないので、全nにおける総和を持っておくと遷移が簡単になる。
int N,M; int A[202],B[202],X[202],Y[202]; vector<int> V; ll mo=1000000007; ll S[202][202],T[202]; ll P[202][402][205]; ll modpow(ll a, ll n = mo-2) { ll r=1;a%=mo; while(n) r=r*((n%2)?a:1)%mo,a=a*a%mo,n>>=1; return r; } void solve() { int i,j,k,l,r,x,y; string s; S[1][0]=T[1]=1; for(i=2;i<=200;i++) { FOR(j,i) { if(i%2==0) { FOR(x,j) S[i][j]+=S[i-1][x]; } else { for(x=j;x<i;x++) S[i][j]+=S[i-1][x]; } (S[i][j]=S[i][j]%mo*modpow(i))%=mo; T[i]+=S[i][j]; } T[i]%=mo; } for(i=200;i>=2;i--) T[i]=T[i]*modpow(T[i-1])%mo; cin>>N; FOR(i,N) { cin>>A[i]>>B[i]; V.push_back(A[i]); V.push_back(B[i]); } sort(ALL(V)); V.erase(unique(ALL(V)),V.end()); M=V.size()-1; FOR(x,M) FOR(y,M) if(V[x]>=A[0]&&V[x]<B[0] && V[y]>=A[1]&&V[y]<B[1]) { ll a=(V[x+1]-V[x])*modpow(B[0]-A[0])%mo; ll b=(V[y+1]-V[y])*modpow(B[1]-A[1])%mo; ll c=a*b%mo; if(x<y) { (P[1][y][1]+=c)%=mo; (P[1][y][0]+=c)%=mo; } if(x==y) { (P[1][y][2]+=c*modpow(2))%=mo; (P[1][y][0]+=c*modpow(2))%=mo; } } for(i=2;i<N;i++) { FOR(j,M) if(V[j]>=A[i]&&V[j]<B[i]) { ll p=(V[j+1]-V[j])*modpow(B[i]-A[i])%mo; if(i%2) { FOR(x,j) { (P[i][j][1]+=P[i-1][x][0]*p)%=mo; (P[i][j][0]+=P[i-1][x][0]*p)%=mo; } } else { for(x=j+1;x<M;x++) { (P[i][j][1]+=P[i-1][x][0]*p)%=mo; (P[i][j][0]+=P[i-1][x][0]*p)%=mo; } } for(x=1;x<=i;x++) { (P[i][j][x+1]+=P[i-1][j][x]*p%mo*T[x+1])%=mo; (P[i][j][0]+=P[i-1][j][x]*p%mo*T[x+1])%=mo; } } } ll ret=0; FOR(j,M) ret+=P[N-1][j][0]; cout<<ret%mo<<endl; }
まとめ
方針は立ったのに状態遷移で混乱して実装に手間取ってしまった。