kmjp's blog

競技プログラミング参加記です

Codeforces ECR #075 : F. Red-White Fence

時間切れをゴリ押しして通した。
https://codeforces.com/contest/1251/problem/F

問題

いくつかの幅1で高さがいくらかのフェンス素材を横に並べフェンスを張りたい。
赤いフェンス素材がK個あり、それ以外に白い素材があって、それぞれの長さが与えられる。
フェンスは赤い素材1個を中心に、そこから左右それぞれ白い素材が続いて高さが単調減少になるようにしたい。
赤い素材は1つしか使わない。白い素材は余ってもよい。

ここで以下のクエリに答えよ。
フェンスの外周がLであるようなフェンスの構成は何通りか。

解法

赤いフェンス素材は1個しか使えないので、それぞれの赤素材に対する組み合わせの和を取ろう。
この時、白いフェンスの個々の高さは割とどうでもよくで、赤素材の高さと白素材の数だけで外周が決まる。
クエリの前に、各外周に至る組み合わせ数を列挙してしまおう。

赤以外の素材は0~2個しか置けないので、赤素材の高さをH、高さhの白素材がN(k)個あったとする。
以下の多項式を考えよう。

  • P(x) := k=1~(H-1)に対し、以下を掛け合わせたもの
    • N(k)=0なら1
    • N(k)=1なら(x+1)
    • N(k)≧1なら(x^2+x+1)

この多項式のn次の項の係数は、白素材がn個ある場合の組み合わせである。
よってP(x)をNNTで数え上げればよい。

int N,K,Q,L;
int A[303030];
ll B[303030];
vector<ll> BV[5];
const int mo=998244353;

inline int multmod(int a,int b,int mo=mo) {
	int d,r;
	if(a==0 || b==0) return 0;
	if(a==1 || b==1) return max(a,b);
	__asm__("mull %4;"
	        "divl %2"
		: "=d" (r), "=a" (d)
		: "r" (mo), "a" (a), "d" (b));
	return r;
}
int modpow(int a, int n = mo-2) {
	int r=1;
	while(n) r=multmod(r,(n%2)?a:1),a=multmod(a,a),n>>=1;
	return r;
}

vector<ll> fft(vector<ll> v, bool rev=false) {
	int n=v.size(),i,j,m;
	
	for(i=0,j=1;j<n-1;j++) {
		for(int k=n>>1;k>(i^=k);k>>=1);
		if(i>j) swap(v[i],v[j]);
	}
	for(int m=2; m<=n; m*=2) {
		ll wn=modpow(5,(mo-1)/m);
		if(rev) wn=modpow(wn);
		for(i=0;i<n;i+=m) {
			ll w=1;
			for(int j1=i,j2=i+m/2;j2<i+m;j1++,j2++) {
				ll t1=v[j1],t2=multmod(w,v[j2]);
				v[j1]=t1+t2;
				v[j2]=t1+mo-t2;
				while(v[j1]>=mo) v[j1]-=mo;
				while(v[j2]>=mo) v[j2]-=mo;
				w=multmod(w,wn);
			}
		}
	}
	if(rev) {
		ll rv = modpow(n);
		FOR(i,n) v[i]=multmod(v[i],rv);
	}
	return v;
}

vector<ll> MultPoly(vector<ll> P,vector<ll> Q,bool resize=false) {
	if(resize) {
		int maxind=0,pi=0,qi=0,i;
		int s=2;
		FOR(i,P.size()) if(norm(P[i])) pi=i;
		FOR(i,Q.size()) if(norm(Q[i])) qi=i;
		maxind=pi+qi+1;
		while(s*2<maxind) s*=2;
		P.resize(s*2);Q.resize(s*2);
	}
	P=fft(P), Q=fft(Q);
	for(int i=0;i<P.size();i++) P[i]=multmod(P[i],Q[i]);
	return fft(P,true);
}

ll comb(ll N_, ll C_) {
	const int NUM_=400001;
	static ll fact[NUM_+1],factr[NUM_+1],inv[NUM_+1];
	if (fact[0]==0) {
		inv[1]=fact[0]=factr[0]=1;
		for (int i=2;i<=NUM_;++i) inv[i] = inv[mo % i] * (mo - mo / i) % mo;
		for (int i=1;i<=NUM_;++i) fact[i]=fact[i-1]*i%mo, factr[i]=factr[i-1]*inv[i]%mo;
	}
	if(C_<0 || C_>N_) return 0;
	return factr[C_]*fact[N_]%mo*factr[N_-C_]%mo;
}

ll p2[404040];

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	p2[0]=1;
	FOR(i,401010) p2[i+1]=p2[i]*2%mo;
	
	cin>>N>>K;
	FOR(i,N) {
		cin>>x;
		A[x]++;
	}
	FOR(i,K) {
		cin>>B[i];
	}
	sort(B,B+K);
	
	FOR(i,K) {
		vector<ll> X,Y;
		int one=0,two=0;
		FOR(j,B[i]) {
			if(A[j]==1) one++;
			if(A[j]>=2) two++;
		}
		
		X.resize(one+1);
		FOR(j,one+1) X[j]=comb(one,j)*p2[j]%mo;
		Y.resize(2*two+1);
		FOR(j,2*two+1) Y[j]=comb(2*two,j)%mo;
		BV[i]=MultPoly(X,Y,1);
	}
	
	
	cin>>Q;
	while(Q--) {
		ll ret=0;
		cin>>L;
		FOR(i,K) {
			ll v=(L-2*B[i]-2)/2;
			
			if(v>=0 && BV[i].size()>=v+1) ret+=BV[i][v];
		}
		cout<<ret%mo<<endl;
	}
	
	
	
}

まとめ

本番TLEで落ちてた。