Bayan 2015 Contest Warmup : E. Strongly Connected City 2

これはアルゴリズムを知らなかった。
http://codeforces.com/contest/475/problem/E

問題

N頂点M無向辺からなるグラフが与えられる。

M個の無向辺すべてについて、辺の向きをどちらかに定めるとする。
そうしてできた有向辺を通じて移動可能な(始点,終点)の対の数を最大化せよ。

解法

無向辺を有向辺にしてもループを構築できる頂点群は、ループを構築すればよい。
このループの構築方法だが、これはちょうど二重辺連結成分分解に一致する。
そこでまずはグラフを二重辺連結成分分解する。

二重辺連結成分分解し、強連結な頂点群を１個の頂点とみなすと、グラフを木となる。
あとは木における全頂点を中心とみなし、いくつかのサブツリーは中心点に流れ込む方向に辺の向きを決め、残りは中心点から離れる方向に向きを定めればよい。

一見O(N^3)かかりそうだが、後者の木DPはO(N^2)程度で終わる。

class SCC_BI {
public:
	static const int MV = 5000;
	vector<int> E[MV];
	stack<int> roots,S;
	int NV,ord[MV],llink[MV],inin[MV],time;
	vector<int> ART; // out
	vector<vector<int> > SC; // out
	vector<pair<int,int> > BR; // out
	
	SCC_BI(int NV=MV) { this->NV=NV; for(int i=0;i<MV;i++) E[i].clear();}
	void add_edge(int x,int y) { E[x].push_back(y); E[y].push_back(x); }
	void dfs(int cur,int pre) {
		int art=0,conn=0,i;
		ord[cur]=llink[cur]=++time;
		S.push(cur); inin[cur]=1; roots.push(cur);
		FOR(i,E[cur].size()) {
			int tar=E[cur][i];
			if(ord[tar]==0) {
				conn++; dfs(tar,cur);
				llink[cur]=min(llink[cur],llink[tar]);
				art += (pre!=-1 && ord[cur]<=llink[tar]);
				if(ord[cur]<llink[tar]) BR.push_back(make_pair(min(cur,tar),max(cur,tar)));
			}
			else if(tar!=pre) {
				llink[cur]=min(llink[cur],ord[tar]);
				while(inin[tar]&&ord[roots.top()]>ord[tar]) roots.pop();
			}
		}
		
		if(cur==roots.top()) {
			SC.push_back(vector<int>());
			while(1) {
				i=S.top(); S.pop(); inin[i]=0;
				SC.back().push_back(i);
				if(i==cur) break;
			}
			sort(SC.back().begin(),SC.back().end());
			roots.pop();
		}
		if(art || (pre==-1&&conn>1)) ART.push_back(cur);
	}
	void scc() {
		SC.clear(),BR.clear(),ART.clear();
		ZERO(ord);ZERO(llink);ZERO(inin);time=0;
		for(int i=0;i<NV;i++) if(!ord[i]) dfs(i,-1);
		sort(BR.begin(),BR.end()); sort(ART.begin(),ART.end());
	}
};

int N,M;
vector<int> E[2001];
int V[2001],ID[2001];
int D[2001],T[2001];

pair<int,int> P[2001][2001];
int dp[2001][2001];

void dfs(int cur,int pre) {
	if(P[cur][pre].first) return;
	pair<int,int>& p=P[cur][pre];
	int i;
	p.first=V[cur];
	p.second=V[cur]*V[cur];
	FOR(i,E[cur].size()) {
		int tar=E[cur][i];
		if(tar!=pre) {
			dfs(tar,cur);
			p.first += P[tar][cur].first;
			p.second += P[tar][cur].second + P[tar][cur].first*V[cur];
		}
	}
}

int dodo(int cur) {
	int i,x,s=0,ma=0;
	
	FOR(i,E[cur].size()) dfs(E[cur][i],cur);
	ZERO(dp[0]);
	dp[0][0]=V[cur]*V[cur];
	
	FOR(i,E[cur].size()) {
		int tar=E[cur][i];
		ZERO(dp[i+1]);
		int pv=P[tar][cur].first, sc=P[tar][cur].second;
		for(x=0;x<=s;x++) if(dp[i][x]) {
			dp[i+1][x]=max(dp[i+1][x],dp[i][x]+sc+pv*(V[cur]+x));
			dp[i+1][x+pv]=max(dp[i+1][x+pv],dp[i][x]+sc+pv*(V[cur]+s-x));
		}
		s+=pv;
	}
	for(i=0;i<=s;i++) ma=max(ma,dp[E[cur].size()][i]);
	return ma;
}

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	cin>>N>>M;
	SCC_BI sb(N);
	FOR(i,M) {
		cin>>x>>y;
		sb.add_edge(x-1,y-1);
	}
	sb.scc();
	
	N=sb.SC.size();
	FOR(i,N) {
		V[i]=sb.SC[i].size();
		FOR(j,V[i]) ID[sb.SC[i][j]]=i;
	}
	FOR(i,sb.BR.size()) {
		x=ID[sb.BR[i].first],y=ID[sb.BR[i].second];
		E[x].push_back(y);
		E[y].push_back(x);
	}
	
	int ma=0;
	FOR(i,N) ma=max(ma,dodo(i));
	cout << ma << endl;
}

まとめ

二重辺連結成分分解を知らないとどうしようもないな…。