最初はEasyです。
http://yukicoder.me/problems/443
問題
素数サイコロは6面に2,3,5,7,11,13が書かれたサイコロである。
合成数サイコロは6面に4,6,8,9,10,12が書かれたサイコロである。
前者をp個、後者c個使った双六を考える。
これらのサイコロをまとめて全部振り、出た目の和だけ進む。
初期位置からゴールまではNマスあり、ゴールに到達したら終了する(Nマスを超えそうな場合はNマスで止まる)。
同じ目の複数のサイコロは区別できない場合、ゴールに至るサイコロの目のパターン数に対し
(10^9+7)の剰余を取った値を求めよ。
解法
素数サイコロp個振った場合、目の和がxになるパターンの数をP(x)とする。
同じ目の複数のサイコロは区別できないので、p回サイコロを振ってそれぞれ2,3,5,7,11,13が出る場合の目の和のパターンをDPで求めるということはできない(これは同じ目の複数のサイコロを区別してしまっている)。
dp[処理した目の数][サイコロを振った数][目の和]=パターン数、として、2の目が0~P回出た場合、3の目が0~P回出た場合…と順次DPしていき、最終的にP(x)=dp[6][P][x]とすればよい。
合成数サイコロc個振った場合、目の和がyになるパターンの数Q(y)も同様に求めることができる。
ここから、素数サイコロp個と合成数サイコロc個をふって目の和がzになるパターンの数R(z)はで求めることができる。
サイコロを1回振って進める数の最大値をm=p*13+c*12とする。
1回サイコロを振るとzマス進むパターンがR(z)なので、何度かサイコロを振って初期位置からwマスの位置に到達するパターンS(w)はである。
さて、この問題はピッタリNマスではなく、最初に和がN以上に到達するパターンを求めなければならないので、単にS(0)=1から初めてS(N)を求めるのでは答えは合わない。
これは以下のように考えることができる。
(1手で最大mマス進むので)最初に和がN~(N+m-1)に到達するパターン数の和を求めたい。
これは逆向きに巻き戻して考えると、初期値が(-(m-1))~0のいずれかであり、1手目で正の値のマスに到達し、最後Nマスにぴったり到達するパターンの和と考えることができる。
(再度逆向きに考えると、最初に和がN~(N+m-1)に到達するパターンを求めるのと一致することがわかる。)
まとめると、S(-(m-1))~S(0)を1としたとき、漸化式に基づきS(N)を求めれば解となる。
ここまでくれば、yukicoderを解いてる人には余裕であるはずで、行列累乗による漸化式の値の算出テクが利用できる。
yukicoder : No.194 フィボナッチ数列の理解(1) - kmjp's blog
ll N; int P,C; int A[6]={2,3,5,7,11,13}; int B[6]={4,6,8,9,10,12}; ll mo=1000000007; ll dp[2][400][4000]; ll dp2[8000]; ll single[8010]; const int MAT=130; struct Mat { ll v[MAT][MAT]; }; Mat mulmat(Mat& a,Mat& b,int n=MAT) { int x,y,z; Mat r; FOR(x,n) FOR(y,n) r.v[x][y]=0; FOR(x,n) FOR(z,n) FOR(y,n) r.v[x][y] += (a.v[x][z]*b.v[z][y]) % mo; FOR(x,n) FOR(y,n) r.v[x][y]%=mo; return r; } Mat powmat(ll p,Mat a,int n=MAT) { int i,x,y; Mat r; FOR(x,n) FOR(y,n) r.v[x][y]=0; FOR(i,n) r.v[i][i]=1; while(p) { if(p%2) r=mulmat(r,a,n); a=mulmat(a,a,n); p>>=1; } return r; } void solve() { int i,j,k,l,r,x,y; string s; cin>>N>>P>>C; dp[0][0][0]=dp[1][0][0]=1; FOR(x,6) FOR(y,P) FOR(i,y*13+1) if(dp[0][y][i]) (dp[0][y+1][i+A[x]] += dp[0][y][i])%=mo; FOR(x,6) FOR(y,C) FOR(i,y*12+1) if(dp[1][y][i]) (dp[1][y+1][i+B[x]] += dp[1][y][i])%=mo; FOR(x,651) FOR(y,601) (single[x+y] += dp[0][P][x]*dp[1][C][y])%=mo; int M=P*13+C*12; Mat mm; ZERO(mm.v); FOR(i,M-1) mm.v[i][i+1]=1; for(i=1;i<=M;i++) mm.v[M-1][M-i]=single[i]; Mat m2=powmat(N+M-1,mm,M); ll tot=0; FOR(i,M) tot += m2.v[0][i]; cout<<tot%mo<<endl; }
まとめ
ここまではまだ余裕。