天下一プログラマーコンテスト2015 予選A : C - 天下一美術館

本番Bで大苦戦していたが、Cはむしろ楽だった(10分かかってない)
http://tenka1-2015-quala.contest.atcoder.jp/tasks/tenka1_2015_qualA_c

問題

M*Nの2次元グリッドを考える。
各セルは白か黒で塗られている。

グリッドに対し以下の何れかの処理を行うことができる。

• 1つのセルの色を変える
• 互いに隣接する2つのセルの色を交換する

2つのグリッドの相違度とは、片方のグリッドからもう片方のグリッドの状態にするのに必要な上記処理の最小実行回数の事を言う。
グリッドA,Bが与えられるので、両者の相違度を求めよ。

解法

前者の処理だけでAからBの状態に色を揃えようとすると、AとBで色が異なるマスの回数だけ処理が必要である。
しかし後者の処理を行うことで1回で2マスの色をそろえられる場所があれば、そちらの方がお得であり、その場所の数だけ処理回数が減る。

よって後者の処理を最大何回実行できるかを求めればよい。
これは最大マッチング問題に還元できるので、以下のように各セルを(x+y)の偶奇で分けて二部グラフにすれば最大フローで解くことができる。

• 始点から(x+y)が奇数のセルに対応した点に辺を張る
• (x+y)が偶数のセルに対応した点から終点に辺を張る
• 互いにAとBで色が異なる2つの隣接セルで、かつ色をスワップするとAからBの状態に持って行ける場合、(x+y)が奇数のセルに対応した点から偶数のセルに対応した点に辺を張る

template<class V> class MaxFlow_dinic {
public:
	struct edge { int to,reve;V cap;};
	static const int MV = 11000;
	vector<edge> E[MV];
	int itr[MV],lev[MV];
	void add_edge(int x,int y,V cap,bool undir=false) {
		E[x].push_back((edge){y,(int)E[y].size(),cap});
		E[y].push_back((edge){x,(int)E[x].size()-1,undir?cap:0});
	}
	void bfs(int cur) {
		MINUS(lev);
		queue<int> q;
		lev[cur]=0;
		q.push(cur);
		while(q.size()) {
			int v=q.front(); q.pop();
			ITR(e,E[v]) if(e->cap>0 && lev[e->to]<0) lev[e->to]=lev[v]+1, q.push(e->to);
		}
	}
	V dfs(int from,int to,V cf) {
		if(from==to) return cf;
		for(;itr[from]<E[from].size();itr[from]++) {
			edge* e=&E[from][itr[from]];
			if(e->cap>0 && lev[from]<lev[e->to]) {
				V f=dfs(e->to,to,min(cf,e->cap));
				if(f>0) {
					e->cap-=f;
					E[e->to][e->reve].cap += f;
					return f;
				}
			}
		}
		return 0;
	}
	V maxflow(int from, int to) {
		V fl=0,tf;
		while(1) {
			bfs(from);
			if(lev[to]<0) return fl;
			ZERO(itr);
			while((tf=dfs(from,to,numeric_limits<V>::max()))>0) fl+=tf;
		}
	}
};


int H,W;
int A[100][100];
int B[100][100];

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	int dif=0;
	cin>>H>>W;
	FOR(y,H) FOR(x,W) cin>>A[y][x];
	FOR(y,H) FOR(x,W) {
		cin>>B[y][x];
		dif+=A[y][x]^B[y][x];
	}
	
	MaxFlow_dinic<int> mf;
	FOR(y,H) FOR(x,W) {
		if((y+x)&1) mf.add_edge(5000,y*70+x,1);
		else mf.add_edge(y*70+x,5001,1);
		if(x<W-1 && A[y][x]!=A[y][x+1] && A[y][x+1]==B[y][x] && B[y][x+1]==A[y][x]) {
			if((y+x)&1) mf.add_edge(y*70+x,y*70+x+1,1);
			else mf.add_edge(y*70+x+1,y*70+x,1);
		}
		if(y<H-1 && A[y][x]!=A[y+1][x] && A[y+1][x]==B[y][x] && B[y+1][x]==A[y][x]) {
			if((y+x)&1) mf.add_edge(y*70+x,(y+1)*70+x,1);
			else mf.add_edge((y+1)*70+x,y*70+x,1);
		}
	}
	cout<<dif-mf.maxflow(5000,5001)<<endl;
	
}

まとめ

こういう隣接セル同士のマッチング問題を考えるとき、(x+y)の偶奇で二部グラフに持ち込むテクは過去にも何度か見たな。