yukicoder : No.470 Inverse S+T Problem

これは★３にしては難しめ。
http://yukicoder.me/problems/no/470

問題

アルファベット大文字小文字のみで構成される、N個の３文字の文字列U[i]が与えられる。
S[i]+T[i]=U[i]を満たすような、空でなくかつ互いに異なる2N個の文字列S[i],T[i]が存在しうるなら答えよ。

解法

S[i]とT[i]のどちらかは1文字になるので、Nは52以下でなければ成立しない。
あとは頑張って枝刈りとかしても一応通るし、自分もそれで無理やり通した。

もう少し賢く行うと、2-SATに持ち込むことができる。
文字列U[x]を前1文字と後ろ2文字に分ける場合、真偽値P[x]=true、前2文字と後ろ1文字に分ける場合P[x]=falseとする。

２つの文字列U[x],U[y]について、それぞれ2通り計4通りの分け方を考えた場合、同じ文字列が複数登場してしまうケースがある。
たとえばU[x]とU[y]の1文字目が同じ場合、P[x]とP[y]が両方trueになることはない。
逆に考えると、いずれかはfalseでなければいけないので(￢P[x] ∨ ￢P[y])が成り立たなければならない。

この要領で各文字列を比較すると、複数の論理和が登場するので、これらを∧で連結して考えると、2-SATに持ち込める。
あとは2-SATをグラフの強連結成分分解に持ち込み、成立するか判定しよう。

この問題は、それに加えて2-SATの条件を満たす真偽値を取得しなければならない。
この方法は自分は知らなかったのだが、N変数から2N頂点のグラフを作る際、i個目の変数に対しtrueならi、falseならi+N番の頂点を割り当てるようにして強連結成分分解したのち、i番とi+N番の頂点が属する連結成分のうち連結成分の番号の大きいほうを採用するとよいようだ。

int N;
string S[101010];
int A[101010];

class SCC {
public:
	static const int MV = 5000;
	vector<vector<int> > SC; int NV,GR[MV],rev[MV];
private:
	vector<int> E[MV], RE[MV], NUM; int vis[MV];
public:
	void init(int NV) { this->NV=NV; for(int i=0;i<MV;i++) { E[i].clear(); RE[i].clear();}}
	void add_edge(int x,int y) { E[x].push_back(y); RE[y].push_back(x); }
	void dfs(int cu) { vis[cu]=1; for(int i=0;i<E[cu].size();i++) if(!vis[E[cu][i]]) dfs(E[cu][i]); NUM.push_back(cu); }
	void revdfs(int cu, int ind) { int i; vis[cu]=1; GR[cu]=ind; SC[ind].push_back(cu); rev[cu]=ind;
		FOR(i,RE[cu].size()) if(!vis[RE[cu][i]]) revdfs(RE[cu][i],ind);}
	void scc() {
		int c=0; SC.clear(); SC.resize(MV); NUM.clear();
		ZERO(vis); for(int i=0;i<NV;i++) if(!vis[i]) dfs(i);
		ZERO(vis); for(int i=NUM.size()-1;i>=0;i--) if(!vis[NUM[i]]){
			SC[c].clear(); revdfs(NUM[i],c); sort(SC[c].begin(),SC[c].end()); c++;
		}
		SC.resize(c);
	}
};

class TwoSat {
	int NV;
	SCC sc;
public:
	vector<int> val;
	void init(int NV) { this->NV=NV*2; sc.init(NV*2); val.resize(NV);}
	void add_edge(int x,int y) { // k+0:normal k+NV:inverse
		sc.add_edge((x+NV/2)%NV,y);
		sc.add_edge((y+NV/2)%NV,x);
	}
	bool sat() { // empty:false 
		sc.scc();
		for(int i=0;i<NV/2;i++) if(sc.GR[i]==sc.GR[i+NV/2]) return false;
		for(int i=0;i<NV/2;i++) val[i]=sc.GR[i]>sc.GR[i+NV/2];
		return true;
	}
};


TwoSat ts;

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	srand(clock());
	cin>>N;
	if(N>52) return _P("Impossible\n");
	
	FOR(i,N) cin>>S[i];
	
	ts.init(N);
	FOR(y,N) FOR(x,y) {
		if(S[y].substr(0,1)==S[x].substr(0,1) || S[y].substr(1,2)==S[x].substr(1,2)) ts.add_edge(y+N,x+N);
		if(S[y].substr(0,1)==S[x].substr(2,1) || S[y].substr(1,2)==S[x].substr(0,2)) ts.add_edge(y+N,x);
		if(S[y].substr(2,1)==S[x].substr(0,1) || S[y].substr(0,2)==S[x].substr(1,2)) ts.add_edge(y,x+N);
		if(S[y].substr(2,1)==S[x].substr(2,1) || S[y].substr(0,2)==S[x].substr(0,2)) ts.add_edge(y,x);
	}
	if(!ts.sat()) return _P("Impossible\n");
	
	FOR(i,N) {
		if(ts.val[i]==1) cout<<S[i].substr(0,1)<<" "<<S[i].substr(1,2)<<endl;
		else cout<<S[i].substr(0,2)<<" "<<S[i].substr(2,1)<<endl;
	}
	
	
}

まとめ

手元の2-SATのライブラリは値の復元未対応だったので解けるわけがなかった…。