kmjp's blog

競技プログラミング参加記です

CSAcademy Round #75 : F. Permutations

解法は思いついたし実際それであってたのに、Eで苦戦しすぎて時間切れ。
https://csacademy.com/contest/round-75/task/permutations/

問題

1~NのPermutation Pのうち、各クエリの条件を満たすものは何通りか。

各クエリは2値X<Yで指定される。

  • P[Y] = max(P[1...Y])
  • 2*P[X] < P[Y]

解法

P[Y]=zとしたとき、P[X] < ceil(z/2)である。
P[1...(Y-1)]はz以下の値でなければならないので、

  • P[X]の候補は(ceil(z/2)-1)通り
  • P[1...(Y-1)]のうちP[X]を除く(Y-2)箇所の値はz以下の値でなければいけないのPerm(Z-2,Z-Y)通り
  • P[(Y+1)~N]の値は残りの値をどう並べてもいいので(N-Y)!通り

よって求める解は \displaystyle \sum_{z=Y}^N \left( \left( ceil(\frac{z}{2})-1 \right) \times \frac{(z-2)!}{(z-Y)!} \times (N-Y)! \right) となる。
この時点でXの値はどうでもいいことがわかる。
あとはYに関係する項としない項をくくりだすと以下のようになる。
 \displaystyle (N-Y)! \times \sum_{z=Y}^N \frac{\left( ceil(\frac{z}{2})-1 \right) \times (Z-2)!}{(Z-Y)!}

各クエリにおいて、階乗値は先に計算しておけば(N-Y)!はO(1)で出せる。
あとはSumの中身だが、分子はzに対応する値を先に計算しておくと、分母はzに対応して階乗の逆数を掛けるだけなのでNNTに持ち込むことができる。

int N,Q;
int X,Y;
ll mo=998244353;
ll fact[101010];

ll modpow(ll a, ll n = mo-2) {
	ll r=1;
	while(n) r=r*((n%2)?a:1)%mo,a=a*a%mo,n>>=1;
	return r;
}
vector<ll> fft(vector<ll> v, bool rev=false) {
	int n=v.size(),i,j,m;
	
	for(i=0,j=1;j<n-1;j++) {
		for(int k=n>>1;k>(i^=k);k>>=1);
		if(i>j) swap(v[i],v[j]);
	}
	for(int m=2; m<=n; m*=2) {
		ll wn=modpow(5,(mo-1)/m);
		if(rev) wn=modpow(wn);
		for(i=0;i<n;i+=m) {
			ll w=1;
			for(int j1=i,j2=i+m/2;j2<i+m;j1++,j2++) {
				ll t1=v[j1],t2=w*v[j2]%mo;
				v[j1]=t1+t2;
				v[j2]=t1+mo-t2;
				while(v[j1]>=mo) v[j1]-=mo;
				while(v[j2]>=mo) v[j2]-=mo;
				w=w*wn%mo;
			}
		}
	}
	if(rev) {
		ll rv = modpow(n);
		FOR(i,n) v[i]=v[i]*rv%mo;
	}
	return v;
}

vector<ll> MultPoly(vector<ll> P,vector<ll> Q,bool resize=false) {
	if(resize) {
		int maxind=0,pi=0,qi=0,i;
		int s=2;
		FOR(i,P.size()) if(norm(P[i])) pi=i;
		FOR(i,Q.size()) if(norm(Q[i])) qi=i;
		maxind=pi+qi+1;
		while(s*2<maxind) s*=2;
		P.resize(s*2);Q.resize(s*2);
	}
	P=fft(P), Q=fft(Q);
	for(int i=0;i<P.size();i++) P[i]=P[i]*Q[i]%mo;
	return fft(P,true);
}

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	fact[0]=1;
	for(i=1;i<=101000;i++) fact[i]=fact[i-1]*i%mo;
	cin>>N>>Q;
	
	if(N<=2) {
		FOR(i,Q) cout<<0<<endl;
		return;
	}
	
	vector<ll> A(1<<18),B(1<<18);
	for(i=3;i<=N;i++) A[i]=fact[i-2]*((i+1)/2-1)%mo;
	for(i=0;i<=N;i++) B[i]=modpow(fact[N-i]);
	auto C=MultPoly(A,B);
	
	//for(i=0;i<=3*N;i++) cout<<C[i+N]*fact[N-i]%mo<<endl;
	
	FOR(i,Q) {
		cin>>X>>Y;
		
		cout<<C[N+Y]*fact[N-Y]%mo<<endl;
		
	}
	
}

まとめ

本番掛ける位置の微調整とかしてたら時間切れした。