yukicoder : No.973 余興

地味に手間取った。
https://yukicoder.me/problems/no/973

問題

N要素の数列Aがあり、ここで２人対戦のターン性のゲームを考える。
各自のターンでは、数列のprefixまたはsuffixを1個以上取り除く。
ただし取り除く値の総和は定数X以下とする。

自分のターンで数列を空にすると負けである。
最適手を取るとき先手後手どちらが勝つか。

解法

win(L,R) := 数列が残り[L,R)の時に自分のターンが来たら勝てるか
とする。win(0,N)の真偽を求めればよい。

これはO(N^3)なら容易で、prefix [L,L')を取り除くならwin(L',R)、suffix [R',R)を取り除くならwin(L,R')のいずれかで必敗のケースがあればよい。

ここで、win(L,R)をメモ化再帰しているとすると、この判定は真偽値の二次元配列のうち、ある幅1の区間内に偽が1個でもあるかを求める問題となる。
なので、これは処理順をうまくすると累積和を使い全部でO(N^2)で済ませることができる。
BITを使ってO(N^2*logN)でも間に合う様子。

int N;
ll X,A[5050];
int memo[5050][5050];
int L[5050],R[5050];
int Rs[5050][5050];
int Ls[5050][5050];


void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	cin>>N>>X;
	FOR(i,N) cin>>A[i];
	
	FOR(i,N+1) {
		L[i]=R[i]=i;
		ll sum=0;
		for(j=i;j<N;j++) {
			sum+=A[j];
			if(sum<=X) R[i]=j+1;
		}
		sum=0;
		
		for(j=i-1;j>=0;j--) {
			sum+=A[j];
			if(sum<=X) L[i]=j;
		}
	}
	FOR(i,N) Ls[i][i+1]=Rs[i][i+1]=1;
	
	for(int len=2;len<=N;len++) {
		for(x=0;x+len<=N;x++) {
			y=Rs[x+1][x+len]-Rs[R[x]+1][x+len];
			y+=Ls[x][x+len-1]-Ls[x][L[x+len]-1];
			memo[x][x+len]=y>0;
			Ls[x][x+len]=Ls[x][x+len-1]+(y==0);
			Rs[x][x+len]=Rs[x+1][x+len]+(y==0);
		}
	}
	
	if(memo[0][N]) cout<<"A"<<endl;
	else cout<<"B"<<endl;
	
}

まとめ

★3はありそうだけど3.5あるかは微妙なライン。