NOMURA プログラミングコンテスト 2020 : D - Urban Planning

本番割とさっくり解けてよかった。
https://atcoder.jp/contests/nomura2020/tasks/nomura2020_d

問題

N頂点の無向グラフを考える。
頂点vからは、他の頂点P[v]と連結したい、という条件が与えられる。
ただし、一部の頂点は、P[v]が未確定である。
未確定の頂点がK個あると、Pの組み合わせは(N-1)^K通りある。

Pが定まったとき、条件を満たす辺の最小本数を考える。全Pに対するその和を求めよ。

解法

まず確定済みのP[v]に対し、vとP[v]に辺を張ろう。
そうするといくつかの連結成分に分割でき、またP[v]が未確定の頂点vは、連結成分内に最大1個である。
(A頂点を連結にするのに(A-1)本辺がいるので、(A-1)個以上確定済みの点が要る)

まずこの状態の辺の数を数え上げておこう。
また、K個の未確定頂点は、とりあえずいずれも辺を増やす方向にカウントしておき、K*(N-1)^Kを加えておく。
ここから、「未確定頂点のP[v]を確定させたら、辺が増えると思ったら増えなかった」というパターンを引いていこう。

1つは、連結成分内唯一の未確定頂点vに対し、P[v]が同一頂点内を指す場合である。
これはすでに連結しているので辺を増やす必要がなり。
これは連結成分毎に容易に数えられる。

もう一つは、2つ以上の連結成分が閉路を構成する場合である。
閉路1個につき辺が1個不要になる。

n個の連結成分が全体で1つの閉路を成すとき、各連結成分iの頂点数をC[i]とすると、その組み合わせはprod(C)*(n-1)!となる。
そこで、この値の和をDPで数えよう。
dp(n,k) := n番目までの連結成分のうち、K個で閉路を成すような連結成分のprod(C)の和
を考えるとこのテーブルはO(N^2)で埋まる。
あとは連結成分数をMとしてdp(M,k)*(k-1)!の和が、減らすべき辺の数になる。

int N;
int P[5050];
const ll mo=1000000007;

template<int um> class UF {
	public:
	vector<int> par,rank,cnt;
	UF() {par=rank=vector<int>(um,0); cnt=vector<int>(um,1); for(int i=0;i<um;i++) par[i]=i;}
	void reinit() {int i; FOR(i,um) rank[i]=0,cnt[i]=1,par[i]=i;}
	int operator[](int x) {return (par[x]==x)?(x):(par[x] = operator[](par[x]));}
	int count(int x) { return cnt[operator[](x)];}
	int operator()(int x,int y) {
		if((x=operator[](x))==(y=operator[](y))) return x;
		cnt[y]=cnt[x]=cnt[x]+cnt[y];
		if(rank[x]>rank[y]) return par[x]=y;
		rank[x]+=rank[x]==rank[y]; return par[y]=x;
	}
};
UF<5050> uf;

int fix[5050],dyn[5050];
ll p[5050][5050];
ll num[5050];
ll fact[5050];

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	fact[0]=1;
	FOR(i,5010) {
		fact[i+1]=fact[i]*(i+1)%mo;
		p[i][0]=1;
		FOR(j,5010) p[i][j+1]=p[i][j]*i%mo;
	}
	
	
	cin>>N;
	ll pat=N-1;
	FOR(i,N) {
		cin>>P[i];
		if(P[i]>0) {
			P[i]--;
			uf(i,P[i]);
		}
	}
	int nd=0;
	FOR(i,N) {
		if(P[i]==-1) dyn[uf[i]]++, nd++;
		else fix[uf[i]]++;
	}
	
	int e=0;
	FOR(i,N) if(dyn[i]+fix[i]) {
		if(dyn[i]) e+=dyn[i]+fix[i];
		else e+=fix[i]-1;
	}
	pat=p[N-1][nd]*e%mo;
	
	num[0]=1;
	FOR(i,N) if(dyn[i]) {
		pat-=fix[i]*p[N-1][nd-1]%mo;
		for(j=N;j>=0;j--) {
			(num[j+1]+=num[j]*(dyn[i]+fix[i]))%=mo;
		}
	}
	
	for(i=2;i<=N;i++) if(num[i]) {
		pat-=num[i]*fact[i-1]%mo*p[N-1][nd-i]%mo;
	}
	
	pat=(pat%mo+mo)%mo;
	
	cout<<pat<<endl;
}

まとめ

これが解けてなぜEが解けなかった…。