yukicoder : No.1100 Boxes

本番中に詰め切れず…。
https://yukicoder.me/problems/no/1100

問題

N個の区別できるボールを、K個の区別できる箱に入れる。
ボールが入っていない箱が奇数個であるような組み合わせは何通りか。

解法

f(i) := N個のボールをちょうどi個の箱に入れ、かつすべての箱に1個以上ボールが入っているような入れ方の組み合わせ
とする。すると解はとなる。
あとはf(i)を求めることを考えよう。

包除原理を考えると、となる。
ただこれだとf(i)を求めるのにO(i)かかるので、f(i)を一通り求めるとO(K^2)かかることになる。
式を変形すると

となり、sumの部分はNTTに持ち込める。

int N,K;
const ll mo=998244353;

ll modpow(ll a, ll n = mo-2) {
	ll r=1;a%=mo;
	while(n) r=r*((n%2)?a:1)%mo,a=a*a%mo,n>>=1;
	return r;
}

ll pat[101010];

const int NUM_=400001;
static ll fact[NUM_+1],factr[NUM_+1],inv[NUM_+1];
ll comb(ll N_, ll C_) {
	if(C_<0 || C_>N_) return 0;
	return factr[C_]*fact[N_]%mo*factr[N_-C_]%mo;
}
ll hcomb(int P_,int Q_) { return (P_==0&&Q_==0)?1:comb(P_+Q_-1,Q_);}

vector<ll> fft(vector<ll> v, bool rev=false) {
	int n=v.size(),i,j,m;
	
	for(i=0,j=1;j<n-1;j++) {
		for(int k=n>>1;k>(i^=k);k>>=1);
		if(i>j) swap(v[i],v[j]);
	}
	for(int m=2; m<=n; m*=2) {
		ll wn=modpow(5,(mo-1)/m);
		if(rev) wn=modpow(wn);
		for(i=0;i<n;i+=m) {
			ll w=1;
			for(int j1=i,j2=i+m/2;j2<i+m;j1++,j2++) {
				ll t1=v[j1],t2=w*v[j2]%mo;
				v[j1]=t1+t2;
				v[j2]=t1+mo-t2;
				while(v[j1]>=mo) v[j1]-=mo;
				while(v[j2]>=mo) v[j2]-=mo;
				w=w*wn%mo;
			}
		}
	}
	if(rev) {
		ll rv = modpow(n);
		FOR(i,n) v[i]=v[i]*rv%mo;
	}
	return v;
}

vector<ll> MultPoly(vector<ll> P,vector<ll> Q,bool resize=false) {
	if(resize) {
		int maxind=0,pi=0,qi=0,i;
		int s=2;
		FOR(i,P.size()) if(norm(P[i])) pi=i;
		FOR(i,Q.size()) if(norm(Q[i])) qi=i;
		maxind=pi+qi+1;
		while(s*2<maxind) s*=2;
		P.resize(s*2);Q.resize(s*2);
	}
	P=fft(P), Q=fft(Q);
	for(int i=0;i<P.size();i++) P[i]=P[i]*Q[i]%mo;
	return fft(P,true);
}

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	inv[1]=fact[0]=factr[0]=1;
	for (int i=2;i<=NUM_;++i) inv[i] = inv[mo % i] * (mo - mo / i) % mo;
	for (int i=1;i<=NUM_;++i) fact[i]=fact[i-1]*i%mo, factr[i]=factr[i-1]*inv[i]%mo;
	
	cin>>N>>K;
	
	vector<ll> A(K+1),B(K+1);
	
	for(i=0;i<=K;i++) {
		A[i]=modpow(i,N)*factr[i]%mo;
		if(i%2) {
			B[i]=(mo-1)*factr[i]%mo;
		}
		else {
			B[i]=factr[i]%mo;
		}
	}
	auto C=MultPoly(A,B,true);
	
	ll ret=0;
	for(i=1;i<=K;i++) {
		if((K-i)%2) ret+=C[i]*comb(K,i)%mo*fact[i]%mo;
	}
	
	
	
	cout<<ret%mo<<endl;
	
	
}

まとめ

Editorialみたいのすんなり思いつく気がしないな。