yukicoder : No.1145 Sums of Powers

これ系yukicoderに多いけど苦手なので何とかしないとな…。
https://yukicoder.me/problems/no/1145

問題

N要素の整数列Aと正整数Mが与えられる。
K=1～Mのそれぞれに対し、 $\displaystyle \sum_i {A_i}^K$ をmod 998244353した値を答えよ。

解法

Editorialの方法そのままだけど、形式的冪級数を使う。
$\displaystyle -\log(1-ax)=\sum_{K=1}^{\infty}\frac{a^K}{K}x^K$
なので、
$\displaystyle -\log\prod(1-A_ix)=\sum_{K=1}^{\infty}\frac{\sum_i {A_i}^K}{K}x^K$
となる。logを使うと多項式の積の形が係数の和の形に持ち込めるのがポイント。
問題は左辺の変形だが、多項式の積はNTTを小さい項から順に繰り返せばOK。

logは幸いrng_58氏が他の演算も含めいろいろまとめてくれているので、これを利用しよう。
https://codeforces.com/blog/entry/56422

自分は最初
$\displaystyle \sum_{i=1}^N \frac{1}{1-A_ix}=\sum_{i=1}^N (1+A_ix+A_i^2x^2+\cdots)$
を使うテクの方がlogが要らなくてラクかな…と思ったけど、有理関数の和を取るとNTTの回数が3倍になりTLEになってしまったのであきらめた。
細かい定数倍最適化とかで通るかもしれないけどね。

int N,M;
int A[101010];

const int mo=998244353;
ll modpow(ll a, ll n = mo-2) {
	ll r=1;
	while(n) r=r*((n%2)?a:1)%mo,a=a*a%mo,n>>=1;
	return r;
}


template<class T> vector<T> fft(vector<T> v, bool rev=false) {
	int n=v.size(),i,j,m;
	
	for(i=0,j=1;j<n-1;j++) {
		for(int k=n>>1;k>(i^=k);k>>=1);
		if(i>j) swap(v[i],v[j]);
	}
	for(int m=2; m<=n; m*=2) {
		T wn=modpow(5,(mo-1)/m);
		if(rev) wn=modpow(wn);
		for(i=0;i<n;i+=m) {
			T w=1;
			for(int j1=i,j2=i+m/2;j2<i+m;j1++,j2++) {
				T t1=v[j1],t2=(ll)w*v[j2]%mo;
				v[j1]=t1+t2;
				v[j2]=t1+mo-t2;
				while(v[j1]>=mo) v[j1]-=mo;
				while(v[j2]>=mo) v[j2]-=mo;
				w=(ll)w*wn%mo;
			}
		}
	}
	if(rev) {
		ll rv = modpow(n);
		FOR(i,n) v[i]=(ll)v[i]*rv%mo;
	}
	return v;
}

template<class T> vector<T> MultPoly(vector<T> P,vector<T> Q,bool resize=false) {
	if(resize) {
		int maxind=0,pi=0,qi=0,i;
		int s=2;
		FOR(i,P.size()) if(norm(P[i])) pi=i;
		FOR(i,Q.size()) if(norm(Q[i])) qi=i;
		maxind=pi+qi+1;
		while(s*2<maxind) s*=2;
		P.resize(s*2);Q.resize(s*2);
	}
	P=fft(P), Q=fft(Q);
	for(int i=0;i<P.size();i++) P[i]=(ll)P[i]*Q[i]%mo;
	return fft(P,true);
}

// 有理数の加算
template<class T> pair<vector<T>,vector<T>> add(pair<vector<T>,vector<T>> a, pair<vector<T>,vector<T>> b) {
	vector<T> c=MultPoly(a.first,b.second,true);
	vector<T> d=MultPoly(b.first,a.second,true);
	vector<T> e=MultPoly(a.second,b.second,true);
	if(c.size()<d.size()) swap(c,d);
	int i;
	FOR(i,d.size()) {
		c[i]+=d[i];
		if(c[i]>=mo) c[i]-=mo;
	}
	
	return {c,e};
}

// 逆数
template<class T> vector<T> inverse(vector<T> a) { 
	assert(a[0]>0);
	vector<T> b={(T)modpow(a[0])};
	while(b.size()<a.size()) {
		vector<T> c(a.begin(),a.begin()+min(a.size(),2*b.size()));
		vector<T> d=MultPoly(b,b,true);
		if(d.size()>a.size()) d.resize(a.size());
		c = MultPoly(c,d,true);
		b.resize(2*b.size());
		int i;
		for(i=b.size()/2;i<b.size();i++) b[i]=(mo-c[i])%mo;
	}
	b.resize(a.size());
	return b;
}

// 微分
template<class T> vector<T> derivative(vector<T> a) { 
	if(a.size()<=1) return {0};
	for(int i=1;i<a.size();i++) a[i-1]=(ll)a[i]*i%mo;
	a.resize(a.size()-1);
	return a;
}
// 積分
template<class T> vector<T> primitive(vector<T> a) {
	a.resize(a.size()+1);
	int i;
	for(int i=a.size()-1;i>=1;i--) a[i]=(ll)a[i-1]*modpow(i)%mo;
	a[0]=0;
	return a;
}

// log  log(f(x))=\int(f'(x)/f(x))
template<class T> vector<T> logarithm(vector<T> a) {
	vector<T> P=derivative(a);
	vector<T> Q=inverse(a);
	return primitive(MultPoly(P,Q,true));
}



void solve() {
	int i,j,k,l,x,y; string s;
	
	cin>>N>>M;
	queue<vector<int>> Q;
	FOR(i,N) {
		cin>>A[i];
		Q.push({1,(mo-A[i])%mo});
	}
	while(Q.size()>=2) {
		auto a=Q.front();
		Q.pop();
		auto b=Q.front();
		Q.pop();
		Q.push(MultPoly(a,b,true));
	}
	
	auto a=Q.front();
	a.resize(M+2);
	a=logarithm(a);
	
	for(i=1;i<=M;i++) cout<<1LL*(mo-a[i])*i%mo<<" ";
	cout<<endl;
	
}

まとめ

形式的冪級数の逆数・log・exp・導関数・原始関数の求め方に触れてよい勉強になった。
でもこれ、慣れるまでさっと使いこなせる気がしないなぁ。

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