kmjp's blog

競技プログラミング参加記です

yukicoder : No.1222 -101

yukicoder

本番間に合わず。
https://yukicoder.me/problems/no/1222

問題

  • 1,0,1のいずれかの値を取るN要素の数列Aを考える。

以下の条件がいくつか与えられる。

  • 区間A[L]～A[R]の積が指定された値である

条件を満たすAの組み合わせは何通りか。
なお、各条件でRは異なる。

解法

まず条件のうち1か-1かは後で考えるとして、積は0か0でないかを考えよう。
以下を考える。
f(n,k) := Aの先頭n要素まで決めたとき、最後のkの位置が0であるような組み合わせ
f(0,0)からf(n,*)を順に求めて行こう。
区間加算・区間乗算・区間和を求められるSegTreeを使いfを更新していく。

今からnを処理するとき、

  • R=nである条件がない
    • n要素は0,1,-1のどれが入ってもよい。そこで1,-1を入れるケースとしてf(n,k)=2*f(n-1,k)、0を入れるケースとしてf(n,n)=sum(f(n-1,*))を取る。
  • R=nである条件があり、積は0である
    • L～Rの間に0が1個以上なければならない。よって f(n,k)はk＜Lでは0、L≦k＜Rでは2*f(n-1,k)、f(n,n)=sum(f(n-1,*))
  • R=nである条件があり、積は0でない
    • L～Rの間に0があってはならない。よって f(n,k)=2*f(n-1,k)、f(n,n)=0

最後sum(f(N,*))を取れば、積が0である条件を満たす組み合わせが得られる。
あとは積が1,-1の条件だが、これはそのような条件がm個ある場合、全体を2^mで割ればよい。
結局正負の数のパリティを合わせる作業なので、条件毎に1要素は自由に選べないことになるためである。

int N,M;
int L[202020],R[202020],P[202020];
int cand[202020];

const ll mo=1000000007;

template<class V,int NV> class SegTree_MulAdd {
public:
	vector<V> sum,mul,add; // sum stores val after muladd
	SegTree_MulAdd(){sum.resize(NV*2,0); mul.resize(NV*2,1); add.resize(NV*2,0);};

	V getval(int x,int y,int l=0,int r=NV,int k=1) {
		if(r<=x || y<=l) return 0;
		if(x<=l && r<=y) return sum[k];
		x=max(x,l);
		y=min(y,r);
		V ret=getval(x,y,l,(l+r)/2,k*2)+getval(x,y,(l+r)/2,r,k*2+1);
		return (ret*mul[k]+add[k]*(y-x))%mo;
	}
	void propagate(int k,int s) {
		(mul[k*2]*=mul[k])%=mo;
		(add[k*2]*=mul[k])%=mo;
		(sum[k*2]*=mul[k])%=mo;
		(add[k*2]+=add[k])%=mo;
		(sum[k*2]+=add[k]*s%mo*(mo+1)/2)%=mo;
		(mul[k*2+1]*=mul[k])%=mo;
		(add[k*2+1]*=mul[k])%=mo;
		(sum[k*2+1]*=mul[k])%=mo;
		(add[k*2+1]+=add[k])%=mo;
		(sum[k*2+1]+=add[k]*s%mo*(mo+1)/2)%=mo;
		
		mul[k]=1;
		add[k]=0;
	}

	void domul(int x,int y,V v,int l=0,int r=NV,int k=1) {
		if(l>=r) return;
		if(x<=l && r<=y) {
			(mul[k]*=v)%=mo;
			(add[k]*=v)%=mo;
			(sum[k]*=v)%=mo;
		}
		else if(l < y && x < r) {
			propagate(k,r-l);
			domul(x,y,v,l,(l+r)/2,k*2);
			domul(x,y,v,(l+r)/2,r,k*2+1);
			sum[k]=(sum[k*2]+sum[k*2+1])%mo;
		}
	}
	void doadd(int x,int y,V v,int l=0,int r=NV,int k=1) {
		if(l>=r) return;
		if(x<=l && r<=y) {
			(add[k]+=v)%=mo;
			(sum[k]+=(r-l)*v)%=mo;
		}
		else if(l < y && x < r) {
			propagate(k,r-l);
			doadd(x,y,v/mul[k],l,(l+r)/2,k*2);
			doadd(x,y,v/mul[k],(l+r)/2,r,k*2+1);
			sum[k]=(sum[k*2]+sum[k*2+1])%mo;
		}
	}
};
SegTree_MulAdd<ll,1<<18> st;

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	MINUS(cand);
	cin>>N>>M;
	ll rev=(mo+1)/2;
	ll p=1;
	FOR(i,M) {
		cin>>L[i]>>R[i]>>P[i];
		cand[R[i]]=i;
		if(P[i]) p=p*rev%mo;
	}
	
	st.doadd(0,1,p);
	for(i=1;i<=N;i++) {
		if(cand[i]==-1) {
			ll v=st.getval(0,i);
			st.domul(0,i,2);
			st.doadd(i,i+1,v);
		}
		else if(P[cand[i]]==0) {
			ll v=st.getval(0,i);
			st.domul(0,i,2);
			st.doadd(i,i+1,v);
			st.domul(0,L[cand[i]],0);
		}
		else {
			st.domul(0,L[cand[i]],2);
			st.domul(L[cand[i]],i,0);
		}
	}
	ll v=st.getval(0,N+1);
	cout<<v%mo<<endl;
}

まとめ

SegTree使ったけど、BITでもいい気がしてきた。