AtCoder ABC #180 : F - Unbranched

割とすんなり。
https://atcoder.jp/contests/abc180/tasks/abc180_f

問題

整数N,M,Lが与えられる。
頂点にラベルがあり、辺にラベルがない無向グラフのうち、以下を満たすのは何通りか。

• N頂点M辺であり、自己辺は許容しない。多重辺は許容する。
• 各点の次数は2以下である。
• 連結成分のうち、最大要素のものはL点からなる。

解法

次数の条件から、現れるグラフは2点以上のループか、点が直線状に並んだ形状が複数個あるものである。
連結成分が未確定な頂点群に対し、最小ラベルのものについて上記いずれかに分類させることを考えよう。

dp(n,m,b) := 未確定の頂点が残りn点、未確定の辺がm辺、確定済みの連結成分にL要素のものがあるかどうかの真偽値がb、である状態に至る組み合わせ
ここから、最小ラベルのものについて、要素数min(n,m-1,L)以下で総当たりし、状態遷移を考えていこう。
dp(N,M,false)=1から初めてdp(0,0,true)が解。

組み合わせを考える際、要素数1の連結成分や、長さ2の閉路では2で割らないケースがあるのに注意。

int N,M,L;
ll dp[303][303][2];
ll fact[303];

const ll mo=1000000007;

ll comb(ll N_, ll C_) {
	const int NUM_=400001;
	static ll fact[NUM_+1],factr[NUM_+1],inv[NUM_+1];
	if (fact[0]==0) {
		inv[1]=fact[0]=factr[0]=1;
		for (int i=2;i<=NUM_;++i) inv[i] = inv[mo % i] * (mo - mo / i) % mo;
		for (int i=1;i<=NUM_;++i) fact[i]=fact[i-1]*i%mo, factr[i]=factr[i-1]*inv[i]%mo;
	}
	if(C_<0 || C_>N_) return 0;
	return factr[C_]*fact[N_]%mo*factr[N_-C_]%mo;
}

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	fact[0]=1;
	for(i=1;i<=300;i++) fact[i]=fact[i-1]*i%mo;
	
	cin>>N>>M>>L;
	dp[N][M][0]=1;
	
	
	
	
	for(i=N;i>=0;i--) {
		for(j=M;j>=0;j--) FOR(y,2) {
			ll v=dp[i][j][y];
			if(v==0) continue;
			for(x=1;x<=min(i,L);x++) {
				//line
				if(x-1<=j&&x==1) (dp[i-x][j-(x-1)][y|(x==L)]+=v*comb(i-1,x-1)%mo*fact[x])%=mo;
				if(x-1<=j&&x>=2) (dp[i-x][j-(x-1)][y|(x==L)]+=v*comb(i-1,x-1)%mo*fact[x]%mo*((mo+1)/2))%=mo;
				//loop
				if(x<=j&&x>=3) (dp[i-x][j-x][y|(x==L)]+=v*comb(i-1,x-1)%mo*fact[x-1]%mo*((mo+1)/2))%=mo;
				if(x<=j&&x==2) (dp[i-x][j-x][y|(x==L)]+=v*(i-1))%=mo;
			}
		}
	}
	
	cout<<dp[0][0][1]<<endl;
}

まとめ

P(N^3)が許容されそうな入力だったので余り迷わなかった。
O(N^2)で解けたりしないのかな。