yukicoder : No.1294 マウンテン数列

これは何とか解けた。
https://yukicoder.me/problems/no/1294

問題

マウンテン数列とは、途中まで単調増加でその後単調減少となるものをいう。
今ここで異なる値からなる整数列Aが与えられる。
Aを並べ替えてできるマウンテン数列のうち、隣接要素の差の絶対値の最大値の総和を求めよ。

解法

f(x) := 隣接要素の差の絶対値の最大値がxとなるような並べ方の総数
とすると、解はsum(x*f(x))となる。
とはいえf(x)を直接求めようとするとO(|A|^3)かかってしんどい。

g(x) := 隣接要素の差の絶対値がx以下となるような並べ方の総数
とするとf(x)=g(x)-g(x-1)で求められるのでg(x)を求めよう。

これはAの最大値を真ん中において、そこからAの大きい順に左右に配置していくケースを考える。
dp(i,k,x) := Aの数列のうちi番目まで並べたとき、隣接要素の絶対値の差がx以下で、両端がi番目とx番目の要素であるような並べ方
とすると、

• i+1番目の要素をi番目の隣に置く場合、dp(i+1,k,x) += dp(i,k,x) (ただしA[i]-A[i+1]≦x)
• i+1番目の要素をk番目の隣に置く場合、dp(i+1,i,x) += dp(i,k,x) (ただしA[k]-A[i+1]≦x)

上記式は一見x毎にO(|A|^2)かかるが、テーブルの変更箇所はさほど多くないので、累積和と尺取り法を使うとxあたりO(|A|)で済ませることができる。

int N;
int A[2555];
const ll mo=998244353;

ll dp[2555];
ll num[2525];

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	cin>>N;
	FOR(i,N) cin>>A[i];
	reverse(A,A+N);
	
	ll ret=0;
	for(x=1;x<=2500;x++) {
		ZERO(dp);
		if(A[0]-A[1]>x) continue;
		dp[0]=2;
		y=k=0;
		ll S=2;
		for(i=2;i<N;i++) {
			if(A[i-1]-A[i]>x) {
				ZERO(dp);
				break;
			}
			// keep
			while(y+1<i&&A[y]-A[i]>x) S+=mo-dp[y++];
			dp[i-1]=S;
			S+=dp[i-1];
			
			S%=mo;
		}
		FOR(i,N) num[x]+=dp[i];
		num[x]%=mo;
		(ret+=x*(num[x]-num[x-1]+mo))%=mo;
	}
	
	cout<<ret<<endl;
	
}

まとめ

最初O(|A|^2)のつもりでO(|A|^3)を書いててTLE連発した。