yukicoder : No.1324 Approximate the Matrix

これは本番中時間が取れず考察もできていなかった。
https://yukicoder.me/problems/no/1324

問題

正整数N,Kが与えられる。
N次正方行列Gを考える。
各要素は非負整数でなければならない。
また、各行の総和と各列の総和が指定される。
全体の総和はKである。

ここで、同じく非負整数を要素に持つN次正方行列Pが与えられる。
G-Pの各要素の二乗和の最小値を求めよ。

解法

Gのある要素に値を1ずつ加えると、二乗和はだんだん減った後だんだん増加する。
1加えたときの差分に着目すると、段々差分が大きくなることになる。

そこで、2+2N頂点のグラフを考え、最小コストフロー問題に置き換えよう。
行の総和を規定するN個の頂点から、列の総和を規定するN個の頂点にそれぞれ辺を張る。
その際、Gに0→1を指定したとき、1→2を指定したとき・・・・に対応する辺として、容量を１、二乗和の差分をコストに設定した辺を張ろう。
二乗和の差分はだんだん大きくなるので、必ず小さい方が使われる。

初期値としてGの全要素に0を設定したときの二乗和を求め、そこに上記グラフに流量Kを流したときのコストを足せばよい。

template<int NV,class V> class MinCostFlow {
public:
	struct edge { int to; V capacity; V cost; int reve;};
	vector<edge> E[NV]; int prev_v[NV], prev_e[NV]; V dist[NV]; V pot[NV];
	void add_edge(int x,int y, V cap, V cost) {
		E[x].push_back((edge){y,cap,cost,(int)E[y].size()});
		E[y].push_back((edge){x,0, -cost,(int)E[x].size()-1}); /* rev edge */
	}
	
	V mincost(int from, int to, ll flow) {
		V res=0; int i,v;
		ZERO(prev_v); ZERO(prev_e); fill(pot, pot+NV, 0);
		while(flow>0) {
			fill(dist, dist+NV, numeric_limits<V>::max()/2);
			dist[from]=0;
			priority_queue<pair<V,int> > Q;
			Q.push(make_pair(0,from));
			while(Q.size()) {
				V d=-Q.top().first;
				int cur=Q.top().second;
				Q.pop();
				if(dist[cur]!=d) continue;
				if(d==numeric_limits<V>::max()/2) break;
				FOR(i,E[cur].size()) {
					edge &e=E[cur][i];
					if(e.capacity>0 && dist[e.to]>d+e.cost+pot[cur]-pot[e.to]) {
						dist[e.to]=d+e.cost+pot[cur]-pot[e.to];
						prev_v[e.to]=cur;
						prev_e[e.to]=i;
						Q.push(make_pair(-dist[e.to],e.to));
					}
				}
			}
			
			if(dist[to]==numeric_limits<V>::max()/2) return -1;
			V lc=flow;
			for(v=to;v!=from;v=prev_v[v]) lc = min(lc, E[prev_v[v]][prev_e[v]].capacity);
			FOR(i,NV) pot[i]+=dist[i];
			flow -= lc;
			res += lc*pot[to];
			for(v=to;v!=from;v=prev_v[v]) {
				edge &e=E[prev_v[v]][prev_e[v]];
				e.capacity -= lc;
				E[v][e.reve].capacity += lc;
			}
		}
		return res;
	}
};
MinCostFlow<404,int> mcf;

int N,K;
int A[202],B[202];
int P[202][202];

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	cin>>N>>K;
	FOR(i,N) {
		cin>>A[i];
		mcf.add_edge(400,i,A[i],0);
	}
	FOR(i,N) {
		cin>>B[i];
		mcf.add_edge(200+i,401,B[i],0);
	}
	int sum=0;
	FOR(y,N) FOR(x,N) {
		cin>>P[y][x];
		sum+=P[y][x]*P[y][x];
		FOR(i,min(A[y],B[x])+1) mcf.add_edge(y,200+x,1,(P[y][x]-i-1)*(P[y][x]-i-1)-(P[y][x]-i)*(P[y][x]-i));
	}
	cout<<sum+mcf.mincost(400,401,K)<<endl;
	
}

まとめ

NやKが微妙に小さいので、時間をかけてたら思いついたかな。