あと一歩だったんだけどな。
https://atcoder.jp/contests/arc111/tasks/arc111_f
問題
N要素の数列Aを考える。初期値は全要素0である。また、解となる変数ansの初期値を0にする。
ここで、以下の3通りのクエリが計Q回来ることを考える。
- 区間[L,R]とm未満の非負整数整数vが与えられるので、A[L...R]のうちv以下のものをvにする
- 区間[L,R]とm未満の非負整数整数vが与えられるので、A[L...R]のうちv以上のものをvにする
- 区間[L,R]が与えられるので、A[L...R]をansに加える。
され、クエリ1回はN*(N+1)/2*(2*M+1)通り考えられる。
全クエリで(N*(N+1)/2*(2*M+1))^Qの全組み合わせが行われたとき、ansの合計を求めよ。
解法
各要素毎に、ansへの寄与の期待値を求めよう。
その和を取って(N*(N+1)/2*(2*M+1))^Qを掛ければ解になる。
まず重要な考察として、任意のタイミングである変数の値が1~(m-1)となる確率は等しい。
区間は置いておいて、(2M+1)通りのクエリの結果変数の値がx以外からxになる確率はいずれも(M-1)/(2M+1)で等しい。
そのため、初期値である0以外に到達する確率は常時等しくなる。
そこで、数列の値がある値である確率は、0か0でないかの2値だけ考えればよく、0でないなら1~(m-1)が等確率なので平均してm/2が加算されると考えてしまってよい。
i番目の要素が、区間[L,R]に含まれる確率P(i)=*1/(N(N+1)/2)とする。
Q回のクエリにおいて
- 変数の値が0→1以上になる確率はP(i)*(M-1)/(2M+1)
- 変数の値が0→0になる確率は1-P(i)*(M-1)/(2M+1)
- 変数の値が1以上→0になる確率はP(i)/(2M+1)
- 変数の値が1以上→1以上になる確率は1-P(i)/(2M+1)
- 変数の値が1以上で、ansに加算される確率はP(i)/(2M+1)
で遷移する。
そこで、変数の値が0である確率と1以上である確率、あとansの期待値の3変数に対し、状態遷移を3*3の行列で表現すれば行列累乗テクでQ回分のクエリのansへの加算分がO(logQ)で求められる。
iごとにP(i)が異なるので、iを総当たりすれば全体をO(NlogQ)で処理できる。
int N,M,Q; const ll mo=998244353; ll dp[202020][2]; const int MAT=3; struct Mat { ll v[MAT][MAT]; Mat(){ZERO(v);};}; Mat mulmat(Mat& a,Mat& b,int n=MAT) { ll mo2=4*mo*mo; int x,y,z; Mat r; FOR(x,n) FOR(y,n) r.v[x][y]=0; FOR(x,n) FOR(z,n) FOR(y,n) { r.v[x][y] += a.v[x][z]*b.v[z][y]; if(r.v[x][y]>mo2) r.v[x][y] -= mo2; } FOR(x,n) FOR(y,n) r.v[x][y]%=mo; return r; } Mat powmat(ll p,Mat a,int n=MAT) { int i,x,y; Mat r; FOR(x,n) FOR(y,n) r.v[x][y]=0; FOR(i,n) r.v[i][i]=1; while(p) { if(p%2) r=mulmat(r,a,n); a=mulmat(a,a,n); p>>=1; } return r; } ll modpow(ll a, ll n = mo-2) { ll r=1;a%=mo; while(n) r=r*((n%2)?a:1)%mo,a=a*a%mo,n>>=1; return r; } void solve() { int i,j,k,l,r,x,y; string s; cin>>N>>M>>Q; ll P=1LL*N*(N+1)/2%mo; ll ret=0; FOR(i,N) { ll T=1LL*(i+1)*(N-i)%mo*modpow(P)%mo; ll godown=1*modpow(2*M+1)%mo*T%mo; ll goup=(M-1)*modpow(2*M+1)%mo*T%mo; Mat A; A.v[0][0]=1+mo-goup; A.v[0][1]=goup; A.v[1][0]=godown; A.v[1][1]=1+mo-godown; A.v[1][2]=godown; A.v[2][2]=1; A=powmat(Q,A); (ret+=A.v[0][2])%=mo; } ll C=1LL*M*(mo+1)/2%mo; ret=ret*C%mo; ret=ret*modpow(P*(2*M+1)%mo,Q)%mo; cout<<ret<<endl; }
まとめ
O(NQ)解法を作ってから、Qの分ではなくNの分を削減する方向に走ったのが失策。
*1:i+1)*(N-i