yukicoder : No.1354 Sambo's Treasure

面倒ではあるけど典型か。
https://yukicoder.me/problems/no/1354

問題

N*Nのグリッドがあり、左上マスから右下マスまで右か下の隣接マスをたどって移動することを考える。
途中、M個のチェックポイントがあり、これらはすべて通らなければならない。
また、途中トラのいるマスがあるので、トラのいるマスはK個までしか通過できない。

条件を満たす移動経路は何通りか。

解法

始点終点を含め、チェックポイントのあるマスをP[i]とする。
f(i,k) := チェックポイントP[i-1]から次のチェックポイントP[i]に至る経路上に、トラのいるマスをちょうどk回通って移動する経路数
とする。f(i,k)を全i,kについて求められれば、それらをDPで足しこんで始点から終点までトラのいるマスを指定回数通って移動する経路数が求められる。

あとは、チェックポイント間について考える。
P[i-1]=u、P[i]=vとする。
g(a,b) := マスaからマスbまで、トラのいるマスを1つも経由せず移動する経路
h(a,b) := マスaからマスbまで、移動する経路
とすると、h(a,b)は単なる二項係数で計算できるので、a,b以外のトラがいるマスtについて
g(a,b)=sum(g(a,t)+g(t,b))となる。

よって、距離の近いマスの対から順次g(a,b)を求めて行くとよい。
g(a,b)が求められれば、f(i,k)も容易に求められる。

int N,M,L,K;
int X[202020],Y[202020];
vector<int> S[202020];
ll dp[202020][103];
ll pat[103][103][103];
const ll mo=998244353;
ll comb(ll N_, ll C_) {
	const int NUM_=400001;
	static ll fact[NUM_+1],factr[NUM_+1],inv[NUM_+1];
	if (fact[0]==0) {
		inv[1]=fact[0]=factr[0]=1;
		for (int i=2;i<=NUM_;++i) inv[i] = inv[mo % i] * (mo - mo / i) % mo;
		for (int i=1;i<=NUM_;++i) fact[i]=fact[i-1]*i%mo, factr[i]=factr[i-1]*inv[i]%mo;
	}
	if(C_<0 || C_>N_) return 0;
	return factr[C_]*fact[N_]%mo*factr[N_-C_]%mo;
}

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	cin>>N>>M>>L>>K;
	FOR(i,M) {
		cin>>X[i+1]>>Y[i+1];
		S[i].push_back(i);
		S[i].push_back(i+1);
	}
	X[M+1]=Y[M+1]=N;
	S[M].push_back(M);
	S[M].push_back(M+1);
	FOR(i,L) {
		j=i+M+2;
		cin>>X[j]>>Y[j];
		x=lower_bound(X,X+M+2,X[j])-X;
		if(X[x]==X[j]) {
			if(Y[x]==Y[j]) K--;
			if(Y[j]<Y[x]&&Y[x-1]<=Y[j]) S[x-1].push_back(j);
			if(Y[j]>Y[x]&&Y[j]<=Y[x+1]) S[x].push_back(j);
		}
		else {
			if(Y[j]>=Y[x-1]&&Y[j]<=Y[x]) S[x-1].push_back(j);
		}
	}
	if(K<0) return _P("0\n");
	K=min(K,L);
	
	dp[0][K]=1;
	FOR(i,M+1) {
		vector<pair<int,int>> C;
		FORR(s,S[i]) C.push_back({X[s]+Y[s],s});
		sort(ALL(C));
		FOR(x,C.size()) FOR(y,C.size()) FOR(r,C.size()+1) pat[x][y][r]=0;
		FOR(x,C.size()) pat[x][x][0]=1;
		for(int len=1;len<=C.size();len++) {
			for(int f=0;f+len<C.size();f++) {
				int t=f+len;
				//direct
				int a=C[f].second;
				int b=C[t].second;
				if(X[a]>X[b]||Y[a]>Y[b]) continue;
				pat[f][t][1]=comb(Y[b]+X[b]-Y[a]-X[a],Y[b]-Y[a]);
				for(int m=f+1;m<t;m++) {
					int x=C[m].second;
					if(X[a]>X[x]||Y[a]>Y[x]) continue;
					if(X[x]>X[b]||Y[x]>Y[b]) continue;
					(pat[f][t][1]+=mo-pat[f][m][1]*comb(Y[b]+X[b]-Y[x]-X[x],Y[b]-Y[x])%mo)%=mo;
					for(j=1;j<=C.size()-1;j++) (pat[f][t][1+j]+=pat[f][m][1]*pat[m][t][j])%=mo;
				}
			}
		}
		FOR(x,101) for(y=1;y<=x+1;y++) (dp[i+1][x-(y-1)]+=dp[i][x]*pat[0][C.size()-1][y])%=mo;
	}
	
	ll ret=0;
	FOR(x,K+1) ret+=dp[M+1][x];
	cout<<ret%mo<<endl;	
}

まとめ

難しくはないけど面倒な問題。