AtCoder ABC #199 : F - Graph Smoothing

幸い余り迷わなかった。
https://atcoder.jp/contests/abc199/tasks/abc199_f

問題

N頂点の無向グラフがあり、各頂点には整数値が設定されている。
M本の辺のうち1本をランダムで選ぶ、という作業をK回行う。
辺を1回選ぶたび、両端の頂点は、その値を両者の平均値に合わせる。

最終的に各点が取る値の期待値を求めよ。

解法

行列累乗で解く。
頂点u-v間の辺があるたびに、1/Mの確率で頂点uとvの値が平均化される。
これを行列で表すと、N次単位行列Xに対し、u-v間の辺に対し

• X[u][u]とX[v][v]を1/2Mだけ減らす
• X[u][v]とX[v][u]を1/2Mだけ増やす

を適用した行列になる。

あとはこれをK乗して初期値のベクトルと掛け合わせるだけ。

const ll mo=1000000007;
const int MAT=101;
struct Mat { ll v[MAT][MAT]; Mat(){ZERO(v);};};

ll modpow(ll a, ll n = mo-2) {
	ll r=1;a%=mo;
	while(n) r=r*((n%2)?a:1)%mo,a=a*a%mo,n>>=1;
	return r;
}


Mat mulmat(Mat& a,Mat& b,int n=MAT) {
	ll mo2=4*mo*mo;
	int x,y,z; Mat r;
	FOR(x,n) FOR(y,n) r.v[x][y]=0;
	FOR(x,n) FOR(z,n) FOR(y,n) {
		r.v[x][y] += a.v[x][z]*b.v[z][y];
		if(r.v[x][y]>mo2) r.v[x][y] -= mo2;
	}
	FOR(x,n) FOR(y,n) r.v[x][y]%=mo;
	return r;
}

Mat powmat(ll p,Mat a,int n=MAT) {
	int i,x,y; Mat r;
	FOR(x,n) FOR(y,n) r.v[x][y]=0;
	FOR(i,n) r.v[i][i]=1;
	while(p) {
		if(p%2) r=mulmat(r,a,n);
		a=mulmat(a,a,n);
		p>>=1;
	}
	return r;
}

int N,M,K;
int A[101];

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	cin>>N>>M>>K;
	Mat X;
	FOR(i,N) {
		X.v[i][i]=1;
		cin>>A[i];
	}
	FOR(i,M) {
		cin>>x>>y;
		x--,y--;
		(X.v[x][x]+=mo-modpow(2*M))%=mo;
		(X.v[y][y]+=mo-modpow(2*M))%=mo;
		(X.v[x][y]+=modpow(2*M))%=mo;
		(X.v[y][x]+=modpow(2*M))%=mo;
	}
	X=powmat(K,X,N);
	
	ll R[101]={};
	FOR(y,N) FOR(x,N) (R[y]+=A[x]*X.v[y][x])%=mo;
	FOR(i,N) cout<<R[i]<<endl;
}

まとめ

最近のFにしては解法がオーソドックス？