yukicoder : No.1436 Rgaph

★4でもいいかもね。
https://yukicoder.me/problems/no/1436

問題

有向グラフが与えられる。
以下の条件を満たすよう、辺を赤緑に彩色できるか。できるならその例を示せ。

• 任意の頂点間(u,v)について、uからvに赤辺と緑辺での移動回数が等しいような移動経路が存在する

解法

まず強連結かつ奇閉路があることを確認する。そうでない場合、条件を満たせないことは自明である。
また、閉路が1つしかないケースも条件を満たせない。

次に、最短の閉路をBFSなどで求めよう。
この閉路長をLとすると、floor(L/2)+1頂点だけ緑で塗り、残りを(閉路内外含め)赤で塗ることを考える。
この最短閉路をグルグル回れば緑辺の移動回数が増えるし、他の閉路を回れば赤辺の移動回数が増えるので条件を満たせる。

int N,M;
vector<int> E[1010][2];
int ok[2020][2][2];
string S;
int id[1010][1010];
vector<int> R[1010];
int from[1010];

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	cin>>N>>M;
	MINUS(id);
	FOR(i,M) {
		cin>>x>>y;
		x--,y--;
		E[x][0].push_back(y);
		E[y][1].push_back(x);
		id[x][y]=i;
	}
	S=string(M,'R');
	ok[0][0][0]=ok[0][1][0]=1;
	queue<int> Q;
	Q.push(0);
	Q.push(2);
	while(Q.size()) {
		int cur=Q.front()/4;
		int id=Q.front()/2%2;
		int oe=Q.front()%2;
		Q.pop();
		FORR(e,E[cur][id]) if(ok[e][id][oe^1]==0) {
			ok[e][id][oe^1]=1;
			Q.push(e*4+id*2+(oe^1));
		}
	}
	FOR(i,N) if(ok[i][0][0]==0||ok[i][0][1]==0||ok[i][1][0]==0) return _P("-1\n");
	FOR(i,N) {
		MINUS(from);
		from[i]=i;
		queue<int> Q;
		Q.push(i);
		while(Q.size()) {
			x=Q.front();
			Q.pop();
			FORR(e,E[x][0]) {
				if(e==i) {
					vector<int> T;
					y=x;
					while(y!=i) T.push_back(y),y=from[y];
					T.push_back(i);
					reverse(ALL(T));
					R[T.size()]=T;
					break;
				}
				else if(from[e]==-1) {
					from[e]=x;
					Q.push(e);
				}
			}
		}
		
		
	}
	for(x=2;x<N;x++) if(R[x].size()) {
		vector<pair<int,int>> V;
		FORR(r,R[x]) V.push_back({E[r][0].size(),r});
		int n=x/2+1;
		sort(ALL(V));
		reverse(ALL(V));
		ZERO(from);
		FOR(i,n) from[V[i].second]=1;
		
		FOR(i,x) if(from[R[x][i]]) S[id[R[x][i]][R[x][(i+1)%x]]]='G';
		cout<<S<<endl;
		return;
		
	}
	cout<<-1<<endl;
	
	
}

まとめ

考察も実装も若干重い問題。