yukicoder : No.1559 Next Rational

この式変形は思いつかないな…。
https://yukicoder.me/problems/no/1559

問題

整数N,A,B,Cが与えられる。
数列aを、最初の2項がA,Bで、以降はと定める。
aは有理数の列となる。その第N項を求めよ。

解法

実はaは3項間漸化式と表せる。
式変形してとする。
より、p=-1が定まる。あとは同様にqも定まる。

これで3項間漸化式を確定できたので、あとは行列累乗で第N項を求めるだけ。

ll N,A,B,K;
const ll mo=1000000007;
const int MAT=2;
struct Mat { ll v[MAT][MAT]; Mat(){ZERO(v);};};

ll modpow(ll a, ll n = mo-2) {
	ll r=1;
	while(n) r=r*((n%2)?a:1)%mo,a=a*a%mo,n>>=1;
	return r;
}

Mat mulmat(Mat& a,Mat& b,int n=MAT) {
	ll mo2=4*mo*mo;
	int x,y,z; Mat r;
	FOR(x,n) FOR(y,n) r.v[x][y]=0;
	FOR(x,n) FOR(z,n) FOR(y,n) {
		r.v[x][y] += a.v[x][z]*b.v[z][y];
		if(r.v[x][y]>mo2) r.v[x][y] -= mo2;
	}
	FOR(x,n) FOR(y,n) r.v[x][y]%=mo;
	return r;
}

Mat powmat(ll p,Mat a,int n=MAT) {
	int i,x,y; Mat r;
	FOR(x,n) FOR(y,n) r.v[x][y]=0;
	FOR(i,n) r.v[i][i]=1;
	while(p) {
		if(p%2) r=mulmat(r,a,n);
		a=mulmat(a,a,n);
		p>>=1;
	}
	return r;
}

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	cin>>N>>A>>B>>K;
	Mat X;
	X.v[0][0]=(A*A+B*B+K)%mo*modpow(A*B%mo)%mo;
	X.v[0][1]=mo-1;
	X.v[1][0]=1;
	X=powmat(N-1,X);
	ll ret=A*X.v[1][1]+B*X.v[1][0];
	cout<<ret%mo<<endl;
}

まとめ

と推測するの難しいんだけど、このタイプの式だとこう置けるって定番だったりするのかな。