kmjp's blog

競技プログラミング参加記です

yukicoder : No.1614 Majority Painting on Tree

だいぶ追い付いてきたか…。
https://yukicoder.me/problems/no/1614

問題

N頂点の木を成す無向グラフが与えられる。
この各辺をC色のいずれかで彩色することを考える。
この時、以下の条件を満たす塗り方は何通りか。

  • C色がすべて1回以上使われる。
  • もしある頂点に対し、つながる辺のうち過半数が同じ色で塗られているようなことがあれば、全辺同じ色でなければならない。

解法

「C色がすべて1回以上使われる。」の方は包む除く原理で対応しよう。
f(x) := x色がすべて1回以上使われる、条件を満たす塗り分け方
g(x) := x色が使われる、条件を満たす塗り分け方
とすると包除原理の要領で \displaystyle f(x) = \sum_{i=1}^x (-1)^{x-i} C(x,i) g(x)と計算できる。

あとはxを総当たりしながら、g(x)を考えよう。
適当な頂点を根として考えたとき、
dp(v) := vのsubtree及び(根頂点以外では)親方向の辺において、条件を満たす塗り方の組み合わせ

を考えると、vの子頂点cに対し、dp(v) = prod(dp(c))から過半数条件に違反するケースを引けばよい。
違反するケースは、辺の色が何本一致するかを総当たりし、過半数かつ全数でないケースを処理すればよい。

int N,C,M;
vector<int> E[101010];
ll mo=998244353;

ll p[260][101010];
ll dp[260][101010];
ll pat[257],sdp[257];

ll comb(ll N_, ll C_) {
	const int NUM_=400001;
	static ll fact[NUM_+1],factr[NUM_+1],inv[NUM_+1];
	if (fact[0]==0) {
		inv[1]=fact[0]=factr[0]=1;
		for (int i=2;i<=NUM_;++i) inv[i] = inv[mo % i] * (mo - mo / i) % mo;
		for (int i=1;i<=NUM_;++i) fact[i]=fact[i-1]*i%mo, factr[i]=factr[i-1]*inv[i]%mo;
	}
	if(C_<0 || C_>N_) return 0;
	return factr[C_]*fact[N_]%mo*factr[N_-C_]%mo;
}

void dfs(int cur,int pre) {
	int NC=E[cur].size()-(cur!=pre);
	
	
	FORR(e,E[cur]) if(e!=pre) {
		dfs(e,cur);
	}
	int i;
	for(i=1;i<=M;i++) pat[i]=sdp[i]=1;
	FORR(e,E[cur]) if(e!=pre) {
		for(i=1;i<=M;i++) {
			pat[i]=pat[i]*i%mo;
			sdp[i]=sdp[i]*dp[i][e]%mo;
		}
	}
	
	if(cur!=pre) {
		for(int s=0;s<=NC-1;s++) if((s+1)*2>NC+1) {
			for(i=1;i<=M;i++) {
				pat[i]-=comb(NC,s)*p[i-1][NC-s]%mo;
			}
		}
		for(int s=0;s<=NC;s++) if(s*2>NC+1) {
			for(i=1;i<=M;i++) {
				pat[i]-=comb(NC,s)*p[i-1][NC-s+1]%mo;
			}
		}
	}
	else {
		for(int s=0;s<=NC-1;s++) if(s*2>NC) {
			for(i=1;i<=M;i++) {
				pat[i]-=i*comb(NC,s)%mo*p[i-1][NC-s]%mo;
			}
		}
	}

	for(i=1;i<=M;i++) {
		dp[i][cur]=(pat[i]%mo+mo)*sdp[i]%mo;
	}
}

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	FOR(i,257) {
		p[i][0]=1;
		FOR(j,101000) p[i][j+1]=p[i][j]*i%mo;
	}
	
	cin>>N>>M;
	FOR(i,N-1) {
		cin>>x>>y;
		E[x-1].push_back(y-1);
		E[y-1].push_back(x-1);
	}
	ll ret=0;
	dfs(0,0);
	for(C=1;C<=M;C++) {
		ll pat=dp[C][0]*comb(M,C)%mo;
		if((C-M)%2==0) ret+=pat;
		else ret-=pat;
	}
	cout<<(ret%mo+mo)%mo<<endl;
}

まとめ

割と頭がこんがらがりそう。