yukicoder : No.1649 Manhattan Square

似たようなのはいろいろ見てそうだけど、そのものズバリはどうだったかな。
https://yukicoder.me/problems/no/1649

問題

2次元座標上でN個の頂点が与えられる。
全頂点対において、マンハッタン距離の二乗和を求めよ。

解法

2点(x1,y1)と(x2,y2)に対し、問題の値を考えると

である。真ん中の絶対値の部分を除けば、X座標の1乗和・2乗和及びY座標の1乗和・2乗和を持てば、これらの全頂点対における総和はO(N)で求められる。
あとは真ん中の絶対値の部分を考えよう。
と言っても、考えるべきは

• (x1,y1)と(x2,y2)が左下と右上に位置する場合、)
• (x1,y1)と(x2,y2)が左上と右下に位置する場合、)

なので、Y座標を圧縮したうえで、X座標を走査しつつ各Y座標における

• 頂点数
• X座標の和
• Y座標の和
• X座標*Y座標の和

をBITを保持し、区間和を用いながら総和を計算すればよい。

int N;
ll X[202020],Y[202020];
const ll mo=998244353;
vector<ll> Xs,Ys;

template<class V, int ME> class BIT_mod {
public:
	V bit[1<<ME];
	BIT_mod(){ZERO(bit);};
	V operator()(int e) {ll s=0;e++;while(e) s+=bit[e-1],e-=e&-e; return s%mo;}
	void add(int e,V v) { e++; while(e<=1<<ME) { bit[e-1]+=v; bit[e-1] -= (bit[e-1]>=mo)?mo:0; e+=e&-e;}}
};
BIT_mod<ll,20> bit_num,bit_x,bit_y,bit_xy;

vector<int> ev[202020];

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	cin>>N;
	ll ret=0;
	ll xs=0,xs2=0,ys=0,ys2=0;
	Xs.push_back(0);
	Ys.push_back(0);
	
	FOR(i,N) {
		cin>>X[i]>>Y[i];
		
		ret+=xs2;
		ret-=2*xs*X[i];
		ret+=i*((X[i]*X[i])%mo);
		ret+=ys2;
		ret-=2*ys*Y[i];
		ret+=i*((Y[i]*Y[i])%mo);
		ret=(ret%mo+mo)%mo;
		
		(xs+=X[i])%=mo;
		(xs2+=X[i]*X[i])%=mo;
		(ys+=Y[i])%=mo;
		(ys2+=Y[i]*Y[i])%=mo;
		Xs.push_back(X[i]);
		Ys.push_back(Y[i]);
	}
	
	sort(ALL(Xs));
	sort(ALL(Ys));
	FOR(i,N) {
		X[i]=lower_bound(ALL(Xs),X[i])-Xs.begin();
		Y[i]=lower_bound(ALL(Ys),Y[i])-Ys.begin();
		ev[X[i]].push_back(i);
	}
	FOR(x,N+1) {
		FORR(i,ev[x]) {
			ll CX=Xs[X[i]];
			ll CY=Ys[Y[i]];
			//左上
			ret-=2*(bit_xy(N+1)-bit_xy(Y[i]));
			ret-=2*CX*CY%mo*(bit_num(N+1)-bit_num(Y[i]));
			ret+=2*CX%mo*(bit_y(N+1)-bit_y(Y[i]));
			ret+=2*CY%mo*(bit_x(N+1)-bit_x(Y[i]));
			ret=(ret%mo+mo)%mo;
			//左下
			ret+=2*bit_xy(Y[i]-1);
			ret+=2*CX*CY%mo*bit_num(Y[i]-1);
			ret-=2*CX%mo*bit_y(Y[i]-1);
			ret-=2*CY%mo*bit_x(Y[i]-1);
			ret=(ret%mo+mo)%mo;
		}
		FORR(i,ev[x]) {
			bit_num.add(Y[i],1);
			bit_x.add(Y[i],Xs[X[i]]);
			bit_y.add(Y[i],Ys[Y[i]]);
			bit_xy.add(Y[i],1LL*Xs[X[i]]*Ys[Y[i]]%mo);
		}
		
	}
	
	cout<<ret<<endl;
}

まとめ

実装が微妙にこんがらがりそう。