kmjp's blog

競技プログラミング参加記です

yukicoder : No.1655 123 Swaps

yukicoder

こういう発想できる気しないな…。
https://yukicoder.me/problems/no/1655

問題

初期状態で数列P=(1,2,3)である。

  • P[1]とP[2]を入れ替える
  • P[2]とP[3]を入れ替える
  • P[1]とP[3]を入れ替える

処理をそれぞれA,B,C回ずつ行うとする。
処理の順番が任意である場合、最終的にPがもとに戻る処理順は何通りか。
mod 924844033(=441*2^21+1)で答えよ。

解法

A+B+Cが奇数の場合、この処理は奇置換になるので絶対元には戻らず解0。

前2つの処理を文字a,bで表現し、操作順を文字を連結した文字列Tで表現するとする。
3つ目の処理は、abaまたはbabで表現できる。

この時、以下の処理を繰り返すことでTを空にできるなら、TはPを元に戻せる処理順を表しているといえる。

  • aaまたはbbを消す。
  • abaを1つ選びbabに入れ替える
  • babを1つ選びbabに入れ替える

このままだと扱いにくいので、偶数文字目のaとbを反転させると

  • abまたはbaを消す。
  • aaaを1つ選びbbbに入れ替える
  • bbbを1つ選びaaaに入れ替える

となる。これは、aとbの数がmod 3で一致すれば条件を満たせることを意味する。(A+B+Cは偶数なので、aやbが3個だけ余ることはない点に注意)

そうすると3つ目の処理は、どこに入れてもよいことになるので、

  • aの数、すなわち奇数回目の処理1と偶数回目の処理2の回数の和
  • bの数、すなわち奇数回目の処理2と偶数回目の処理1の回数の和

がmod 3で一致すればよい。

奇数回目の処理1の回数をx、偶数回目の処理2の回数をyとすると、その組み合わせは[tex: \displaystyle \frac{(N/2)!}{x!y!(N/2-x-y)!}\frac{(N/2)!}{(A-x)!(B-y)!(N/2-(A-x)-(B-y))!}だが、0≦x≦A、0≦y≦B、0≦x+y≦A/2、0≦(A-x)+(B-y)≦A/2、x+y≡(A-x)+(B-y) (mod 3)の範囲でこれらを足し合わせよう。
この処理はNTTで行える。最後の条件については、x mod 3をy mod 3総当たりすればよい。

int A,B,C;
const ll mo=924844033;

const int NUM_=1400001;
static ll fact[NUM_+1],factr[NUM_+1],inv[NUM_+1];

ll modpow(ll a, ll n = mo-2) {
	ll r=1;
	while(n) r=r*((n%2)?a:1)%mo,a=a*a%mo,n>>=1;
	return r;
}


template<class T> vector<T> fft(vector<T> v, bool rev=false) {
	int n=v.size(),i,j,m;
	
	for(i=0,j=1;j<n-1;j++) {
		for(int k=n>>1;k>(i^=k);k>>=1);
		if(i>j) swap(v[i],v[j]);
	}
	for(int m=2; m<=n; m*=2) {
		T wn=modpow(5,(mo-1)/m);
		if(rev) wn=modpow(wn);
		for(i=0;i<n;i+=m) {
			T w=1;
			for(int j1=i,j2=i+m/2;j2<i+m;j1++,j2++) {
				T t1=v[j1],t2=(ll)w*v[j2]%mo;
				v[j1]=t1+t2;
				v[j2]=t1+mo-t2;
				while(v[j1]>=mo) v[j1]-=mo;
				while(v[j2]>=mo) v[j2]-=mo;
				w=(ll)w*wn%mo;
			}
		}
	}
	if(rev) {
		ll rv = modpow(n);
		FOR(i,n) v[i]=(ll)v[i]*rv%mo;
	}
	return v;
}

template<class T> vector<T> MultPoly(vector<T> P,vector<T> Q,bool resize=false) {
	if(resize) {
		int maxind=0,pi=0,qi=0,i;
		int s=2;
		FOR(i,P.size()) if(norm(P[i])) pi=i;
		FOR(i,Q.size()) if(norm(Q[i])) qi=i;
		maxind=pi+qi+1;
		while(s*2<maxind) s*=2;
		P.resize(s*2);Q.resize(s*2);
		if(s<=16) { //fastpath
			vector<T> R(s*2);
			for(int x=0;x<2*s;x++) for(int y=0;x+y<2*s;y++) (R[x+y]+=P[x]*Q[y])%=mo;
			return R;
		}
	}
	P=fft(P), Q=fft(Q);
	for(int i=0;i<P.size();i++) P[i]=(ll)P[i]*Q[i]%mo;
	return fft(P,true);
}


void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	cin>>A>>B>>C;
	
	if((A+B+C)%2) {
		cout<<0<<endl;
		return;
	}
	
	inv[1]=fact[0]=factr[0]=1;
	for (int i=2;i<=NUM_;++i) inv[i] = inv[mo % i] * (mo - mo / i) % mo;
	for (int i=1;i<=NUM_;++i) fact[i]=fact[i-1]*i%mo, factr[i]=factr[i-1]*inv[i]%mo;
	
	int N=(A+B+C)/2;
	ll ret=0;
	FOR(i,3) FOR(j,3) if((i+B-j+3)%3==(A-i+j+3)%3) {
		vector<ll> X(1<<19),Y(1<<19);
		FOR(x,A+1) if(x%3==i) X[x]=factr[x]*factr[A-x]%mo;
		FOR(y,B+1) if(y%3==j) Y[y]=factr[y]*factr[B-y]%mo;
		auto Z=MultPoly(X,Y);
		FOR(x,N+1) {
			if(N-A-B+x>=0 && x<=A+B) {
				(ret+=Z[x]*factr[N-x]%mo*factr[N-A-B+x])%=mo;
			}
		}
	}
	ret=ret*fact[N]%mo*fact[N]%mo;
	cout<<ret<<endl;
	
}

まとめ

入れ替え系の処理を、こう置き換えるというアイデアは覚えておいてよいかもな。