yukicoder : No.1678 Coin Trade (Multiple)

★4とあるけど、割とすんなり解けた。
https://yukicoder.me/problems/no/1678

問題

N個の国を順に移動する。
各国iの貨幣の価値はA[i]円である。

以下の条件で貨幣をやり取りできるとする。

• i国では、手持ちの円で任意枚数のその国の貨幣を買える
• i国では、指定されたいくつかの国の貨幣とi国の貨幣を交換可能である。ただし、1つの国あたり1枚のみ可能。
• 任意タイミングで手持ちの貨幣を売れる。その時の価格はA[i]である。
• 国の間の移動では、K枚を超える貨幣は持っていけない。

手持ちの円が十分にある条件のもと、円を最大いくら稼げるか。

解法

j国で買った貨幣をi国で交換し、即売るとA[i]-A[j]の利益を得られる。
そこで以下の最小コストフローを考えよう。

• 何もせず国を移動することを模して、頂点i→(i+1)にコスト0・容量無限の辺を張る。
• 上記利益を模して、頂点j→頂点iに利益(A[i]-A[j])・容量1の辺を張る

このグラフにフローKを流して得られる利益の最大値を求めよう。
このままだとコスト負の辺が出るので、適当にオフセットを加えて非負にする必要がある。

int N,K;
ll dp[202020];
int A[202020],M[202020];
template<int NV,class V> class MinCostFlow {
public:
	struct edge { int to; V capacity; V cost; int reve;};
	vector<edge> E[NV]; int prev_v[NV], prev_e[NV]; V dist[NV]; V pot[NV];
	void add_edge(int x,int y, V cap, V cost) {
		E[x].push_back((edge){y,cap,cost,(int)E[y].size()});
		E[y].push_back((edge){x,0, -cost,(int)E[x].size()-1}); /* rev edge */
	}
	
	V mincost(int from, int to, ll flow) {
		V res=0; int i,v;
		ZERO(prev_v); ZERO(prev_e); fill(pot, pot+NV, 0);
		while(flow>0) {
			fill(dist, dist+NV, numeric_limits<V>::max()/2);
			dist[from]=0;
			priority_queue<pair<V,int> > Q;
			Q.push(make_pair(0,from));
			while(Q.size()) {
				V d=-Q.top().first;
				int cur=Q.top().second;
				Q.pop();
				if(dist[cur]!=d) continue;
				if(d==numeric_limits<V>::max()/2) break;
				FOR(i,E[cur].size()) {
					edge &e=E[cur][i];
					if(e.capacity>0 && dist[e.to]>d+e.cost+pot[cur]-pot[e.to]) {
						dist[e.to]=d+e.cost+pot[cur]-pot[e.to];
						prev_v[e.to]=cur;
						prev_e[e.to]=i;
						Q.push(make_pair(-dist[e.to],e.to));
					}
				}
			}
			
			if(dist[to]==numeric_limits<V>::max()/2) return -1;
			V lc=flow;
			for(v=to;v!=from;v=prev_v[v]) lc = min(lc, E[prev_v[v]][prev_e[v]].capacity);
			FOR(i,NV) pot[i]+=dist[i];
			flow -= lc;
			res += lc*pot[to];
			for(v=to;v!=from;v=prev_v[v]) {
				edge &e=E[prev_v[v]][prev_e[v]];
				e.capacity -= lc;
				E[v][e.reve].capacity += lc;
			}
		}
		return res;
	}
};
MinCostFlow<101010,ll> mcf;

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	cin>>N>>K;
	FOR(i,N-1) {
		mcf.add_edge(i,i+1,50,1<<30);
	}
	
	FOR(i,N) {
		cin>>A[i]>>M[i];
		FOR(x,M[i]) {
			cin>>y;
			y--;
			mcf.add_edge(y,i,1,((ll)(i-y)<<30)-(A[i]-A[y]));
		}
	}
	
	ll ma=mcf.mincost(0,N-1,K);
	ll v=(ll)(N-1)*K<<30;
	cout<<v-ma<<endl;
	
}

まとめ

ようやく最新問に追い付いた…。