yukicoder : No.1684 Find Brackets

★4でもいい気はする。
https://yukicoder.me/problems/no/1684

問題

()で構成されるN文字の文字列Sのうち、(がM個以上あるもの全通りを考える。
Sに文字を最低限追加し、正しい括弧列にした文字列をf(S)とする。
S全通りに対し、|f(S)|の総和を求めよ。

解法

Sの各パターン毎に、手前に何個"("をつける必要があるかを考える。
(Sの後ろに")"を追加するケースも同様に処理を行う)

"("がa個、")"がb個からなるSを考える。
f(S)を作る際"("をt個つける必要があるケースをg(a,t)とすると、g(a,t)の総和を数えられれば、全Sにおける"("を手前につける数の総和となる。

f(S)を作る際"("をt個つける必要があるケースは、(0,0)から右または上への移動を繰り返し、(a,b)まで移動する際、y=x+tを通るケースである。
これはカタラン数の応用で組み合わせを解ける。
a,tを愚直に総当たりするとO(N^2)かかってしまうが、aを固定すると、二項係数の累積和を準備しておけば、tの変化分はまとめて数えることができる。

const ll mo=1000000007;

ll comb(ll N_, ll C_) {
	const int NUM_=2200001;
	static ll fact[NUM_+1],factr[NUM_+1],inv[NUM_+1];
	if (fact[0]==0) {
		inv[1]=fact[0]=factr[0]=1;
		for (int i=2;i<=NUM_;++i) inv[i] = inv[mo % i] * (mo - mo / i) % mo;
		for (int i=1;i<=NUM_;++i) fact[i]=fact[i-1]*i%mo, factr[i]=factr[i-1]*inv[i]%mo;
	}
	if(C_<0 || C_>N_) return 0;
	return factr[C_]*fact[N_]%mo*factr[N_-C_]%mo;
}

int N,M;
ll S[2020202];
void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	cin>>N>>M;
	FOR(i,N+1) {
		S[i]=comb(N,i);
		if(i) (S[i]+=S[i-1])%=mo;
	}
	ll ret=0;
	for(int a=0;a<=N;a++) {
		ll v=0;
		if(a>=M) (ret+=N*comb(N,a))%=mo;
		int b=N-a;
		
		if(b>=a) (v+=S[a]+(b-a-1)*comb(N,a))%=mo;
		else (v+=S[b-1])%=mo;
		
		
		if(a>=M) ret+=v;
		if(b>=M) ret+=v;
		
	}
	cout<<ret%mo<<endl;
}

まとめ

カタラン数の応用で解けることは想像つくけど、細かい数字を合わせていくのが大変。