kmjp's blog

競技プログラミング参加記です

AtCoder ABC #225 (UNICORNプログラミングコンテスト2021) : H - Social Distance 2

最初の言い換えが難しい。
https://atcoder.jp/contests/abc225/tasks/abc225_h

問題

N個の椅子が左右1列に並んでおり、そのうちM個の椅子に、M人が1人ずつ座る。
ただし、K人が座る椅子はすでに確定している。

残り(M-K)人の座りかた全通りに対し、人が座った椅子番号を昇順に並べた数列をBとしたとき、Prod(B[i+1]-B[i])の総和を求めよ。

解法

人は区別しないで考えよう。その分は最後求めた値に(M-K)!を掛ければ帳尻が合う。

f(n,k) := n個の椅子のうち、すでに両端に人が座っている。そこに、k箇所追加で人が座るときの、その部分に対するProd(B[i+1]-B[i])の値の総和
g(n,k) := n個の椅子のうち、片方の端に人が座っている。そこに、k箇所追加で人が座るときの、その部分に対するProd(B[i+1]-B[i])の値の総和
h(n,k) := n個の椅子がある。そこに、k箇所追加で人が座るときの、その部分に対するProd(B[i+1]-B[i])の値の総和

をそれぞれ考える。
f(n,k)を考えよう。
椅子の数を、人の間の隙間の数(k+1)個多くしたと考え、k+2人の人とk+1個のボールを交互に、計2k+3個の人・ボールを(n+k+1)個の椅子に配置することを考える。
両端が人で固定されていることを考えると、この値はBinom(n+k-1,2k+1)となるが、これは人の間のボールの自由度が、その分(B[i+1]-B[i])として計上されることを考えるとこれはf(n,k)に等しい。
g(n,k)とh(n,k)も同様に考えることができる。

すでに人が座っている椅子番号を昇順に並べた数列においてXとYが隣接していたとする。
この時、この間にk人を追加したときのProd(B[i+1]-B[i])の値の総和は、f(Y-X+1,k)となる。
P(x)を、k次の係数がf(Y-X+1,k)となる多項式であると考えよう。
他の椅子番号の隣接関係においても同様の式を考え、その積を取れば、(M-K)次の係数が求める値となる。
多項式の積は、NNTを使い高速に求めよう。

既存の人に挟まれない両端の領域はf(n,k)の代わりにg(n,k)を使う点と、K=0の場合はh(n,k)を使う点に注意。

const int mo=998244353;
int N,M,K;
int A[202020];
const int NUM_=450001;
static ll fact[NUM_+1],factr[NUM_+1],inv[NUM_+1];

ll comb(ll N_, ll C_) {
	if (fact[0]==0) {
		inv[1]=fact[0]=factr[0]=1;
		for (int i=2;i<=NUM_;++i) inv[i] = inv[mo % i] * (mo - mo / i) % mo;
		for (int i=1;i<=NUM_;++i) fact[i]=fact[i-1]*i%mo, factr[i]=factr[i-1]*inv[i]%mo;
	}
	if(C_<0 || C_>N_) return 0;
	return factr[C_]*fact[N_]%mo*factr[N_-C_]%mo;
}

ll modpow(ll a, ll n = mo-2) {
	ll r=1;
	while(n) r=r*((n%2)?a:1)%mo,a=a*a%mo,n>>=1;
	return r;
}


template<class T> vector<T> fft(vector<T> v, bool rev=false) {
	int n=v.size(),i,j,m;
	
	for(i=0,j=1;j<n-1;j++) {
		for(int k=n>>1;k>(i^=k);k>>=1);
		if(i>j) swap(v[i],v[j]);
	}
	for(int m=2; m<=n; m*=2) {
		T wn=modpow(5,(mo-1)/m);
		if(rev) wn=modpow(wn);
		for(i=0;i<n;i+=m) {
			T w=1;
			for(int j1=i,j2=i+m/2;j2<i+m;j1++,j2++) {
				T t1=v[j1],t2=(ll)w*v[j2]%mo;
				v[j1]=t1+t2;
				v[j2]=t1+mo-t2;
				while(v[j1]>=mo) v[j1]-=mo;
				while(v[j2]>=mo) v[j2]-=mo;
				w=(ll)w*wn%mo;
			}
		}
	}
	if(rev) {
		ll rv = modpow(n);
		FOR(i,n) v[i]=(ll)v[i]*rv%mo;
	}
	return v;
}

template<class T> vector<T> MultPoly(vector<T> P,vector<T> Q,bool resize=false) {
	if(resize) {
		int maxind=0,pi=0,qi=0,i;
		int s=2;
		FOR(i,P.size()) if(norm(P[i])) pi=i;
		FOR(i,Q.size()) if(norm(Q[i])) qi=i;
		maxind=pi+qi+1;
		while(s*2<maxind) s*=2;
		P.resize(s*2);Q.resize(s*2);
		if(s<=16) { //fastpath
			vector<T> R(s*2);
			for(int x=0;x<2*s;x++) for(int y=0;x+y<2*s;y++) (R[x+y]+=P[x]*Q[y])%=mo;
			return R;
		}
	}
	P=fft(P), Q=fft(Q);
	for(int i=0;i<P.size();i++) P[i]=(ll)P[i]*Q[i]%mo;
	return fft(P,true);
}

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	cin>>N>>M>>K;
	ll ret=0;
	if(K==0) {
		ret=comb(N+M-1,2*M-1);
	}
	else {
		deque<vector<ll>> Q;
		FOR(i,K) {
			vector<ll> a;
			cin>>A[i];
			if(i==0) {
				FOR(j,A[i]) a.push_back(comb(A[i]+j-1,2*j));
			}
			else {
				FOR(j,A[i]-A[i-1]) a.push_back(comb(A[i]-A[i-1]+1+j-1,2*j+1));
			}
			Q.push_back(a);
		}
		vector<ll> a;
		FOR(j,N-A[K-1]+1) a.push_back(comb(N-A[K-1]+1+j-1,2*j));
		Q.push_back(a);
		while(Q.size()>1) {
			vector<ll> a=Q.front();
			Q.pop_front();
			vector<ll> b=Q.front();
			Q.pop_front();
			auto c=MultPoly(a,b,1);
			Q.push_back(c);
		}
		auto v=Q.front();
		ret=v[M-K];
	}
	ret=ret*fact[M-K]%mo;
	cout<<ret<<endl;
	
}

まとめ

数え上げの言い換えが苦手…。