最初の言い換えが難しい。
https://atcoder.jp/contests/abc225/tasks/abc225_h
問題
N個の椅子が左右1列に並んでおり、そのうちM個の椅子に、M人が1人ずつ座る。
ただし、K人が座る椅子はすでに確定している。
残り(M-K)人の座りかた全通りに対し、人が座った椅子番号を昇順に並べた数列をBとしたとき、Prod(B[i+1]-B[i])の総和を求めよ。
解法
人は区別しないで考えよう。その分は最後求めた値に(M-K)!を掛ければ帳尻が合う。
f(n,k) := n個の椅子のうち、すでに両端に人が座っている。そこに、k箇所追加で人が座るときの、その部分に対するProd(B[i+1]-B[i])の値の総和
g(n,k) := n個の椅子のうち、片方の端に人が座っている。そこに、k箇所追加で人が座るときの、その部分に対するProd(B[i+1]-B[i])の値の総和
h(n,k) := n個の椅子がある。そこに、k箇所追加で人が座るときの、その部分に対するProd(B[i+1]-B[i])の値の総和
をそれぞれ考える。
f(n,k)を考えよう。
椅子の数を、人の間の隙間の数(k+1)個多くしたと考え、k+2人の人とk+1個のボールを交互に、計2k+3個の人・ボールを(n+k+1)個の椅子に配置することを考える。
両端が人で固定されていることを考えると、この値はBinom(n+k-1,2k+1)となるが、これは人の間のボールの自由度が、その分(B[i+1]-B[i])として計上されることを考えるとこれはf(n,k)に等しい。
g(n,k)とh(n,k)も同様に考えることができる。
すでに人が座っている椅子番号を昇順に並べた数列においてXとYが隣接していたとする。
この時、この間にk人を追加したときのProd(B[i+1]-B[i])の値の総和は、f(Y-X+1,k)となる。
P(x)を、k次の係数がf(Y-X+1,k)となる多項式であると考えよう。
他の椅子番号の隣接関係においても同様の式を考え、その積を取れば、(M-K)次の係数が求める値となる。
多項式の積は、NNTを使い高速に求めよう。
既存の人に挟まれない両端の領域はf(n,k)の代わりにg(n,k)を使う点と、K=0の場合はh(n,k)を使う点に注意。
const int mo=998244353; int N,M,K; int A[202020]; const int NUM_=450001; static ll fact[NUM_+1],factr[NUM_+1],inv[NUM_+1]; ll comb(ll N_, ll C_) { if (fact[0]==0) { inv[1]=fact[0]=factr[0]=1; for (int i=2;i<=NUM_;++i) inv[i] = inv[mo % i] * (mo - mo / i) % mo; for (int i=1;i<=NUM_;++i) fact[i]=fact[i-1]*i%mo, factr[i]=factr[i-1]*inv[i]%mo; } if(C_<0 || C_>N_) return 0; return factr[C_]*fact[N_]%mo*factr[N_-C_]%mo; } ll modpow(ll a, ll n = mo-2) { ll r=1; while(n) r=r*((n%2)?a:1)%mo,a=a*a%mo,n>>=1; return r; } template<class T> vector<T> fft(vector<T> v, bool rev=false) { int n=v.size(),i,j,m; for(i=0,j=1;j<n-1;j++) { for(int k=n>>1;k>(i^=k);k>>=1); if(i>j) swap(v[i],v[j]); } for(int m=2; m<=n; m*=2) { T wn=modpow(5,(mo-1)/m); if(rev) wn=modpow(wn); for(i=0;i<n;i+=m) { T w=1; for(int j1=i,j2=i+m/2;j2<i+m;j1++,j2++) { T t1=v[j1],t2=(ll)w*v[j2]%mo; v[j1]=t1+t2; v[j2]=t1+mo-t2; while(v[j1]>=mo) v[j1]-=mo; while(v[j2]>=mo) v[j2]-=mo; w=(ll)w*wn%mo; } } } if(rev) { ll rv = modpow(n); FOR(i,n) v[i]=(ll)v[i]*rv%mo; } return v; } template<class T> vector<T> MultPoly(vector<T> P,vector<T> Q,bool resize=false) { if(resize) { int maxind=0,pi=0,qi=0,i; int s=2; FOR(i,P.size()) if(norm(P[i])) pi=i; FOR(i,Q.size()) if(norm(Q[i])) qi=i; maxind=pi+qi+1; while(s*2<maxind) s*=2; P.resize(s*2);Q.resize(s*2); if(s<=16) { //fastpath vector<T> R(s*2); for(int x=0;x<2*s;x++) for(int y=0;x+y<2*s;y++) (R[x+y]+=P[x]*Q[y])%=mo; return R; } } P=fft(P), Q=fft(Q); for(int i=0;i<P.size();i++) P[i]=(ll)P[i]*Q[i]%mo; return fft(P,true); } void solve() { int i,j,k,l,r,x,y; string s; cin>>N>>M>>K; ll ret=0; if(K==0) { ret=comb(N+M-1,2*M-1); } else { deque<vector<ll>> Q; FOR(i,K) { vector<ll> a; cin>>A[i]; if(i==0) { FOR(j,A[i]) a.push_back(comb(A[i]+j-1,2*j)); } else { FOR(j,A[i]-A[i-1]) a.push_back(comb(A[i]-A[i-1]+1+j-1,2*j+1)); } Q.push_back(a); } vector<ll> a; FOR(j,N-A[K-1]+1) a.push_back(comb(N-A[K-1]+1+j-1,2*j)); Q.push_back(a); while(Q.size()>1) { vector<ll> a=Q.front(); Q.pop_front(); vector<ll> b=Q.front(); Q.pop_front(); auto c=MultPoly(a,b,1); Q.push_back(c); } auto v=Q.front(); ret=v[M-K]; } ret=ret*fact[M-K]%mo; cout<<ret<<endl; }
まとめ
数え上げの言い換えが苦手…。