kmjp's blog

競技プログラミング参加記です

AtCoder ABC #231 (パナソニックプログラミングコンテスト2021) : H - Minimum Coloring

これちょっと手間取ってしまった。
https://atcoder.jp/contests/abc231/tasks/abc231_h

問題

H*Wのグリッドのうち、N個の場所に白い駒がある。
いくつかの駒を黒く塗り、各行・各列に少なくとも1個は黒い駒があるようにしたい。
各駒は、黒く塗るコストが与えられる。
条件を満たす総コストの最小値を求めよ。

解法

source→列に対応するH個の点→行に対応するW個の点→sink
とするコスト付の有向グラフを考える。

まずは問題にそって愚直に考えてみる。

  • source→列に対応する点に、容量無限・コスト0の辺を張る
  • 列に対応する点→行に対応する点は、そのセルに駒があるなら、容量1・コストは駒を黒く塗るコストの辺を張る
  • 行に対応する点→sinkに、容量無限・コスト0の辺を張る

このグラフについて、「source→列に対応する点」「行に対応する点→sink」に最小1のフローが流れる場合の最小コストフローを求める問題となる。
ただ、このまま一般的な最小コストフローのアルゴリズムでは、流量の最小値を指定することができないので変形しよう。

  • source→列に対応する点に、容量1・コスト0の辺と、容量無限大・コストinfの辺を張る
  • 行に対応する点→sinkに、容量1・コスト0の辺と、容量無限大・コストinfの辺を張る

このグラフに、1~Nまでフローを流してそのコストを見る。
フローfを流したとき、(f-H)+(f-W)本だけはコストinfの辺を通るので、求めた最小コストからinf**1を引いたものが解の候補となる。
そこでその最小値を取ろう。

実際に1~Nまでフローを流す場合は、毎回最初からフローを流すのではなく、前回の結果に対し1ずつ追加で流していくとよい。

template<int NV,class V> class MinCostFlow {
public:
	struct edge { int to; V capacity; V cost; int reve;};
	vector<edge> E[NV]; int prev_v[NV], prev_e[NV]; V dist[NV]; V pot[NV];
	void add_edge(int x,int y, V cap, V cost) {
		E[x].push_back((edge){y,cap,cost,(int)E[y].size()});
		E[y].push_back((edge){x,0, -cost,(int)E[x].size()-1}); /* rev edge */
	}
	
	pair<ll,V> mincost(int from, int to, ll flow) {
		V res=0; int i,v;
		ZERO(prev_v); ZERO(prev_e); fill(pot, pot+NV, 0);
		ll sf=0;
		while(flow>0) {
			fill(dist, dist+NV, numeric_limits<V>::max()/2);
			dist[from]=0;
			priority_queue<pair<V,int> > Q;
			Q.push(make_pair(0,from));
			while(Q.size()) {
				V d=-Q.top().first;
				int cur=Q.top().second;
				Q.pop();
				if(dist[cur]!=d) continue;
				if(d==numeric_limits<V>::max()/2) break;
				FOR(i,E[cur].size()) {
					edge &e=E[cur][i];
					if(e.capacity>0 && dist[e.to]>d+e.cost+pot[cur]-pot[e.to]) {
						dist[e.to]=d+e.cost+pot[cur]-pot[e.to];
						prev_v[e.to]=cur;
						prev_e[e.to]=i;
						Q.push(make_pair(-dist[e.to],e.to));
					}
				}
			}
			if(dist[to]==numeric_limits<V>::max()/4) break;
			V lc=flow;
			for(v=to;v!=from;v=prev_v[v]) lc = min(lc, E[prev_v[v]][prev_e[v]].capacity);
			sf+=lc;
			FOR(i,NV) pot[i]+=dist[i];
			flow -= lc;
			res += lc*pot[to];
			for(v=to;v!=from;v=prev_v[v]) {
				edge &e=E[prev_v[v]][prev_e[v]];
				e.capacity -= lc;
				E[v][e.reve].capacity += lc;
			}
		}
		return {sf,res};
	}
};
MinCostFlow<2020,ll> mcf;

int H,W,N;
int Y[1010],X[1010],C[1010];

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	cin>>H>>W>>N;
	
	FOR(i,H) {
		mcf.add_edge(2000,i,1,0);
		mcf.add_edge(2000,i,2000,1LL<<45);
	}
	FOR(i,W) {
		mcf.add_edge(1000+i,2001,1,0);
		mcf.add_edge(1000+i,2001,2000,1LL<<45);
	}
	FOR(i,N) {
		cin>>Y[i]>>X[i]>>C[i];
		Y[i]--;
		X[i]--;
		mcf.add_edge(Y[i],1000+X[i],1,C[i]);
	}
	
	ll mi=1LL<<60;
	ll c=0;
	for(i=1;i<=N;i++) {
		auto a=mcf.mincost(2000,2001,1);
		c+=a.second;
		if(i>=max(H,W)) {
			mi=min(mi,c-(1LL*((i-H)+(i-W))<<45));
		}
		
		
	}
	cout<<mi<<endl;
}

まとめ

最小流量保証付きの最小コストフロー、どうやるんだっけ…と蟻本を見ながらやったりしてた。

*1:f-H)+(f-W