これちょっと手間取ってしまった。
https://atcoder.jp/contests/abc231/tasks/abc231_h
問題
H*Wのグリッドのうち、N個の場所に白い駒がある。
いくつかの駒を黒く塗り、各行・各列に少なくとも1個は黒い駒があるようにしたい。
各駒は、黒く塗るコストが与えられる。
条件を満たす総コストの最小値を求めよ。
解法
source→列に対応するH個の点→行に対応するW個の点→sink
とするコスト付の有向グラフを考える。
まずは問題にそって愚直に考えてみる。
- source→列に対応する点に、容量無限・コスト0の辺を張る
- 列に対応する点→行に対応する点は、そのセルに駒があるなら、容量1・コストは駒を黒く塗るコストの辺を張る
- 行に対応する点→sinkに、容量無限・コスト0の辺を張る
このグラフについて、「source→列に対応する点」「行に対応する点→sink」に最小1のフローが流れる場合の最小コストフローを求める問題となる。
ただ、このまま一般的な最小コストフローのアルゴリズムでは、流量の最小値を指定することができないので変形しよう。
- source→列に対応する点に、容量1・コスト0の辺と、容量無限大・コストinfの辺を張る
- 行に対応する点→sinkに、容量1・コスト0の辺と、容量無限大・コストinfの辺を張る
このグラフに、1~Nまでフローを流してそのコストを見る。
フローfを流したとき、(f-H)+(f-W)本だけはコストinfの辺を通るので、求めた最小コストからinf**1を引いたものが解の候補となる。
そこでその最小値を取ろう。
実際に1~Nまでフローを流す場合は、毎回最初からフローを流すのではなく、前回の結果に対し1ずつ追加で流していくとよい。
template<int NV,class V> class MinCostFlow { public: struct edge { int to; V capacity; V cost; int reve;}; vector<edge> E[NV]; int prev_v[NV], prev_e[NV]; V dist[NV]; V pot[NV]; void add_edge(int x,int y, V cap, V cost) { E[x].push_back((edge){y,cap,cost,(int)E[y].size()}); E[y].push_back((edge){x,0, -cost,(int)E[x].size()-1}); /* rev edge */ } pair<ll,V> mincost(int from, int to, ll flow) { V res=0; int i,v; ZERO(prev_v); ZERO(prev_e); fill(pot, pot+NV, 0); ll sf=0; while(flow>0) { fill(dist, dist+NV, numeric_limits<V>::max()/2); dist[from]=0; priority_queue<pair<V,int> > Q; Q.push(make_pair(0,from)); while(Q.size()) { V d=-Q.top().first; int cur=Q.top().second; Q.pop(); if(dist[cur]!=d) continue; if(d==numeric_limits<V>::max()/2) break; FOR(i,E[cur].size()) { edge &e=E[cur][i]; if(e.capacity>0 && dist[e.to]>d+e.cost+pot[cur]-pot[e.to]) { dist[e.to]=d+e.cost+pot[cur]-pot[e.to]; prev_v[e.to]=cur; prev_e[e.to]=i; Q.push(make_pair(-dist[e.to],e.to)); } } } if(dist[to]==numeric_limits<V>::max()/4) break; V lc=flow; for(v=to;v!=from;v=prev_v[v]) lc = min(lc, E[prev_v[v]][prev_e[v]].capacity); sf+=lc; FOR(i,NV) pot[i]+=dist[i]; flow -= lc; res += lc*pot[to]; for(v=to;v!=from;v=prev_v[v]) { edge &e=E[prev_v[v]][prev_e[v]]; e.capacity -= lc; E[v][e.reve].capacity += lc; } } return {sf,res}; } }; MinCostFlow<2020,ll> mcf; int H,W,N; int Y[1010],X[1010],C[1010]; void solve() { int i,j,k,l,r,x,y; string s; cin>>H>>W>>N; FOR(i,H) { mcf.add_edge(2000,i,1,0); mcf.add_edge(2000,i,2000,1LL<<45); } FOR(i,W) { mcf.add_edge(1000+i,2001,1,0); mcf.add_edge(1000+i,2001,2000,1LL<<45); } FOR(i,N) { cin>>Y[i]>>X[i]>>C[i]; Y[i]--; X[i]--; mcf.add_edge(Y[i],1000+X[i],1,C[i]); } ll mi=1LL<<60; ll c=0; for(i=1;i<=N;i++) { auto a=mcf.mincost(2000,2001,1); c+=a.second; if(i>=max(H,W)) { mi=min(mi,c-(1LL*((i-H)+(i-W))<<45)); } } cout<<mi<<endl; }
まとめ
最小流量保証付きの最小コストフロー、どうやるんだっけ…と蟻本を見ながらやったりしてた。
*1:f-H)+(f-W