kmjp's blog

競技プログラミング参加記です

AtCoder ARC #133 : F - Random Transition

この解法に自力でたどり着ける気がしない…。
https://atcoder.jp/contests/arc133/tasks/arc133_f

問題

変数xは、0~Nの整数値を取り、初期値がそれぞれiである確率A[i]が与えられる。
xに対し、以下の処理をK回行う。

  • x/Nの確率でxをデクリメントし、残りの(N-x)/Nの確率でxをインクリメントする。

最終的にxが0~Nの各値である確率をそれぞれ求めよ。

解法

細かい式の導出手順はEditorialを参照してもらうとして、最後のコードに落とす部分のみ記載する。
多項式 \displaystyle f(x) = \sum_i A_i(x+1)^i(x-1)^{N-i}をNTTを用いて展開し、 \displaystyle f(x) = w_i x^iの形にしよう。
この係数w_iに対し、今度は \displaystyle g(x) = \sum_i w_i(2i-N)^K(x+1)^i(x-1)^{N-i}をNTTを用いて \displaystyle g(x) = u_i x^iの形にしよう。
係数u_iは最終的にxがiとなる確率となる。

const int mo=998244353;
ll modpow(ll a, ll n = mo-2) {
	ll r=1;a%=mo;
	while(n) r=r*((n%2)?a:1)%mo,a=a*a%mo,n>>=1;
	return r;
}


template<class T> vector<T> fft(vector<T> v, bool rev=false) {
	int n=v.size(),i,j,m;
	
	for(i=0,j=1;j<n-1;j++) {
		for(int k=n>>1;k>(i^=k);k>>=1);
		if(i>j) swap(v[i],v[j]);
	}
	for(int m=2; m<=n; m*=2) {
		T wn=modpow(5,(mo-1)/m);
		if(rev) wn=modpow(wn);
		for(i=0;i<n;i+=m) {
			T w=1;
			for(int j1=i,j2=i+m/2;j2<i+m;j1++,j2++) {
				T t1=v[j1],t2=(ll)w*v[j2]%mo;
				v[j1]=t1+t2;
				v[j2]=t1+mo-t2;
				while(v[j1]>=mo) v[j1]-=mo;
				while(v[j2]>=mo) v[j2]-=mo;
				w=(ll)w*wn%mo;
			}
		}
	}
	if(rev) {
		ll rv = modpow(n);
		FOR(i,n) v[i]=(ll)v[i]*rv%mo;
	}
	return v;
}

template<class T> vector<T> MultPoly(vector<T> P,vector<T> Q,bool resize=false) {
	if(resize) {
		int maxind=0,pi=0,qi=0,i;
		int s=2;
		FOR(i,P.size()) if(norm(P[i])) pi=i;
		FOR(i,Q.size()) if(norm(Q[i])) qi=i;
		maxind=pi+qi+1;
		while(s*2<maxind) s*=2;
		P.resize(s*2);Q.resize(s*2);
		if(s<=16) { //fastpath
			vector<T> R(s*2);
			for(int x=0;x<2*s;x++) for(int y=0;x+y<2*s;y++) (R[x+y]+=P[x]*Q[y])%=mo;
			return R;
		}
	}
	P=fft(P), Q=fft(Q);
	for(int i=0;i<P.size();i++) P[i]=(ll)P[i]*Q[i]%mo;
	return fft(P,true);
}

vector<ll> Zp[20],Zm[20];
int N,K;
vector<ll> hoge(vector<ll> V) {
	vector<pair<int,vector<ll>>> W;
	V.resize(N+1);
	FORR(v,V) W.push_back({1,{v}});
	while(W.size()>1) {
		reverse(ALL(W));
		vector<pair<int,vector<ll>>> X;
		while(W.size()>=2) {
			auto A=W.back();
			W.pop_back();
			auto B=W.back();
			W.pop_back();
			
			vector<ll> p={1},m={1};
			int i;
			FOR(i,18) {
				if(A.first&(1<<i)) p=MultPoly(p,Zp[i],1);
				if(B.first&(1<<i)) m=MultPoly(m,Zm[i],1);
			}
			auto AA=MultPoly(A.second,m,1);
			auto BB=MultPoly(B.second,p,1);
			FOR(i,BB.size()) {
				if(i<AA.size()) {
					(AA[i]+=BB[i])%=mo;
				}
				else {
					AA.push_back(BB[i]);
				}
			}
			X.push_back({A.first+B.first,AA});
			
		}
		if(W.size()) X.push_back(W.back());
		
		swap(W,X);
	}
	
	return W[0].second;
}


void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	Zp[0]={1,1};
	Zm[0]={mo-1,1};
	FOR(i,17) {
		Zp[i+1]=MultPoly(Zp[i],Zp[i],1);
		Zm[i+1]=MultPoly(Zm[i],Zm[i],1);
	}
	
	
	cin>>N>>K;
	vector<ll> V;
	FOR(i,N+1) {
		cin>>x;
		V.push_back(x*modpow(1000000000)%mo);
	}
	
	V=hoge(V);
	FOR(i,N+1) {
		(V[i]*=modpow(mo+2*i-N,K))%=mo;
	}
	V=hoge(V);
	ll sum=0;
	FOR(i,N+1) sum+=V[i];
	FOR(i,N+1) {
		(V[i]*=modpow(sum))%=mo;
		cout<<V[i]<<" ";
	}
	cout<<endl;
}

まとめ

こんな導出どうやったら思いつくんだろうとは思うけど、本番中に解いてる人もいるんだよな…。