yukicoder : No.1839 Concatenation Matrix

なるほど。
https://yukicoder.me/problems/no/1839

問題

N要素の整数列Aが与えられる。各要素は1桁の正整数である。
ここでX[i][j]を以下のように定義する。

• X[0][j]=A[j]
• X[i][j]は、X[i-1][j]とX[i-1][j+1]を文字列とみなして連結したもの。ただしj=N-1の時、j+1は0とみなす。

Aが与えられたとき、X[N-1][0]…X[N-1][N-1]それぞれを求めよ。

解法

X[N-1][j]において、上から(0-originで)k桁目はA[(j+popcount(k))%N]となる。
そこで、
W[i] := X[N-1][j]に対し、A[(j+i)%N]の何倍分が寄与するか
を考える。これがわかれば、AとWをNNTで掛け合わせることでX[N-1][i]を求めることができる。

多項式f(x) := sum(W[i]*x^i)、すなわちx^iの係数をW[i]とする多項式を考える。
上記popcount分で寄与分が計算できることを考えると、f(x) = sum(W[i]*x^i) = Prod(1+(10^(2^j))x) と計算することができる。
右辺は1次式をO(N)を掛け合わせたものとなるので、分割統治法で掛け合わせていこう。

int N;
vector<ll> A;
vector<ll> P;

const int mo=998244353;
ll modpow(ll a, ll n = mo-2) {
	ll r=1; a%=mo;
	while(n) r=r*((n%2)?a:1)%mo,a=a*a%mo,n>>=1;
	return r;
}


template<class T> vector<T> fft(vector<T> v, bool rev=false) {
	int n=v.size(),i,j,m;
	
	for(i=0,j=1;j<n-1;j++) {
		for(int k=n>>1;k>(i^=k);k>>=1);
		if(i>j) swap(v[i],v[j]);
	}
	for(int m=2; m<=n; m*=2) {
		T wn=modpow(5,(mo-1)/m);
		if(rev) wn=modpow(wn);
		for(i=0;i<n;i+=m) {
			T w=1;
			for(int j1=i,j2=i+m/2;j2<i+m;j1++,j2++) {
				T t1=v[j1],t2=(ll)w*v[j2]%mo;
				v[j1]=t1+t2;
				v[j2]=t1+mo-t2;
				while(v[j1]>=mo) v[j1]-=mo;
				while(v[j2]>=mo) v[j2]-=mo;
				w=(ll)w*wn%mo;
			}
		}
	}
	if(rev) {
		ll rv = modpow(n);
		FOR(i,n) v[i]=(ll)v[i]*rv%mo;
	}
	return v;
}

template<class T> vector<T> MultPoly(vector<T> P,vector<T> Q,bool resize=false) {
	if(resize) {
		int maxind=0,pi=0,qi=0,i;
		int s=2;
		FOR(i,P.size()) if(norm(P[i])) pi=i;
		FOR(i,Q.size()) if(norm(Q[i])) qi=i;
		maxind=pi+qi+1;
		while(s*2<maxind) s*=2;
		P.resize(s*2);Q.resize(s*2);
		if(s<=16) { //fastpath
			vector<T> R(s*2);
			for(int x=0;x<2*s;x++) for(int y=0;x+y<2*s;y++) (R[x+y]+=P[x]*Q[y])%=mo;
			return R;
		}
	}
	P=fft(P), Q=fft(Q);
	for(int i=0;i<P.size();i++) P[i]=(ll)P[i]*Q[i]%mo;
	return fft(P,true);
}



void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	cin>>N;
	A.resize(2*N);
	FOR(i,N) {
		cin>>x;
		A[i]=A[N+i]=x;
	}
	
	queue<vector<ll>> P;
	ll a=10;
	FOR(i,N-1) {
		P.push({1,a});
		a=a*a%mo;
	}
	while(P.size()>=2) {
		auto a=P.front();
		P.pop();
		auto b=P.front();
		P.pop();
		P.push(MultPoly(a,b,1));
	}
	
	vector<ll> R;
	FOR(i,N) R.push_back(P.front()[i]);
	
	auto Q=MultPoly(R,A,1);
	FOR(i,N) cout<<Q[N-1+i]<<endl;
	
}

まとめ

時間を掛ければ自力で解けてたか？