これはまあ自力で解けた。
https://yukicoder.me/problems/no/1879
問題
整数Nが与えられる。
1~Nのラベルが振られたN個の頂点からなるグラフを考える。
ラベルa,bに対し|a-b|≦2の時のにみその頂点間に辺が張られるとき、最大マッチングは何通り構築可能か。
解法
Nが偶数の時、N/2個のマッチングが作れる。
その作り方は、
- 2連続のラベルの点A,BがA-Bでマッチングを構成する
- 4連続のラベルの点A,B,C,DがA-C, B-Dマッチングを構成する
の2通りのパターンを繰り返して計N個になるようにすればよい。
これは行列累乗で計算できる。
Nが奇数の時、どこかで1か所マッチングに使われない頂点ができる。これは
- 他の頂点のマッチングの間に挟まれないケース
- 3連続のラベルの点A,B,CでA-Cでマッチングが存在し、Bが余る
のどちらかがある。
そこで、状態として「マッチングに使われない頂点が登場済み・未登場」という観点を考慮し、やはり行列累乗で計算できる。
ll N; const ll mo=1000000007; const int MAT=8; struct Mat { ll v[MAT][MAT]; Mat(){ZERO(v);};}; Mat mulmat(Mat& a,Mat& b,int n=MAT) { ll mo2=4*mo*mo; int x,y,z; Mat r; FOR(x,n) FOR(y,n) r.v[x][y]=0; FOR(x,n) FOR(z,n) FOR(y,n) { r.v[x][y] += a.v[x][z]*b.v[z][y]; if(r.v[x][y]>mo2) r.v[x][y] -= mo2; } FOR(x,n) FOR(y,n) r.v[x][y]%=mo; return r; } Mat powmat(ll p,Mat a,int n=MAT) { int i,x,y; Mat r; FOR(x,n) FOR(y,n) r.v[x][y]=0; FOR(i,n) r.v[i][i]=1; while(p) { if(p%2) r=mulmat(r,a,n); a=mulmat(a,a,n); p>>=1; } return r; } void solve() { int i,j,k,l,r,x,y; string s; cin>>N; Mat A; A.v[1][0]=A.v[2][1]=A.v[3][2]=1; A.v[5][4]=A.v[6][5]=A.v[7][6]=1; A.v[4][0]=1; A.v[0][1]=1; A.v[4][2]=1; A.v[0][3]=1; A.v[4][5]=1; A.v[4][7]=1; A=powmat(N,A); cout<<A.v[(N%2)*4][0]<<endl; }
まとめ
わりとすんなり。