kmjp's blog

競技プログラミング参加記です

yukicoder : No.1879 How many matchings?

これはまあ自力で解けた。
https://yukicoder.me/problems/no/1879

問題

整数Nが与えられる。
1~Nのラベルが振られたN個の頂点からなるグラフを考える。
ラベルa,bに対し|a-b|≦2の時のにみその頂点間に辺が張られるとき、最大マッチングは何通り構築可能か。

解法

Nが偶数の時、N/2個のマッチングが作れる。
その作り方は、

  • 2連続のラベルの点A,BがA-Bでマッチングを構成する
  • 4連続のラベルの点A,B,C,DがA-C, B-Dマッチングを構成する

の2通りのパターンを繰り返して計N個になるようにすればよい。
これは行列累乗で計算できる。

Nが奇数の時、どこかで1か所マッチングに使われない頂点ができる。これは

  • 他の頂点のマッチングの間に挟まれないケース
  • 3連続のラベルの点A,B,CでA-Cでマッチングが存在し、Bが余る

のどちらかがある。
そこで、状態として「マッチングに使われない頂点が登場済み・未登場」という観点を考慮し、やはり行列累乗で計算できる。

ll N;
const ll mo=1000000007;

const int MAT=8;
struct Mat { ll v[MAT][MAT]; Mat(){ZERO(v);};};

Mat mulmat(Mat& a,Mat& b,int n=MAT) {
	ll mo2=4*mo*mo;
	int x,y,z; Mat r;
	FOR(x,n) FOR(y,n) r.v[x][y]=0;
	FOR(x,n) FOR(z,n) FOR(y,n) {
		r.v[x][y] += a.v[x][z]*b.v[z][y];
		if(r.v[x][y]>mo2) r.v[x][y] -= mo2;
	}
	FOR(x,n) FOR(y,n) r.v[x][y]%=mo;
	return r;
}

Mat powmat(ll p,Mat a,int n=MAT) {
	int i,x,y; Mat r;
	FOR(x,n) FOR(y,n) r.v[x][y]=0;
	FOR(i,n) r.v[i][i]=1;
	while(p) {
		if(p%2) r=mulmat(r,a,n);
		a=mulmat(a,a,n);
		p>>=1;
	}
	return r;
}


void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;
	
	cin>>N;
	Mat A;
	A.v[1][0]=A.v[2][1]=A.v[3][2]=1;
	A.v[5][4]=A.v[6][5]=A.v[7][6]=1;
	A.v[4][0]=1;
	A.v[0][1]=1;
	A.v[4][2]=1;
	A.v[0][3]=1;
	A.v[4][5]=1;
	A.v[4][7]=1;
	A=powmat(N,A);
	cout<<A.v[(N%2)*4][0]<<endl;
}

まとめ

わりとすんなり。