kmjp's blog

競技プログラミング参加記です

AtCoder ABC #249 (モノグサプログラミングコンテスト2022) : Ex - Dye Color

ARC

割と手間取った。
https://atcoder.jp/contests/abc249/tasks/abc249_h

問題

N個のボールがあり、N色のいずれかで塗られている。
この状態で以下を繰り返す。

  • N個中いくつかのボールを選ぶ。
  • 1～NのPermutationのいずれかを選び、上記でi個目に選んだボールの色を、順にそのPermutationのi番目の値に対応する色に塗り替える。

全ボールが同じ色になるまでの処理回数の期待値を求めよ。

解法

詳細な説明はEditorialを見てもらうとして、自分が躓いたところだけ追記しておく。
まずP[i][j]の求め方だけど、1回色を塗り替えたあと、同色のボールの数はSで決まる。
そこで、(k+S)に依存する項から作成した多項式と、(N-k)に依存する項から作成した多項式をNTTでたたみこむことで、x^Sの係数がSの選び方に対応するような多項式を求めることができる。

また、EditorialにはCの求め方が書いていないが、g(N)=f(A)+C=0より、C=-g(N)としてよい。

int N,A[2020];
const ll mo=998244353;
ll modpow(ll a, ll n = mo-2) {
	ll r=1; a%=mo;
	while(n) r=r*((n%2)?a:1)%mo,a=a*a%mo,n>>=1;
	return r;
}


template<class T> vector<T> fft(vector<T> v, bool rev=false) {
	int n=v.size(),i,j,m;
	for(int m=n; m>=2; m/=2) {
		T wn=modpow(5,(mo-1)/m);
		if(rev) wn=modpow(wn);
		for(i=0;i<n;i+=m) {
			T w=1;
			for(int j1=i,j2=i+m/2;j2<i+m;j1++,j2++) {
				T t1=v[j1],t2=v[j2];
				v[j1]=t1+t2;
				v[j2]=ll(t1+mo-t2)*w%mo;
				while(v[j1]>=mo) v[j1]-=mo;
				w=(ll)w*wn%mo;
			}
		}
	}
	for(i=0,j=1;j<n-1;j++) {
		for(int k=n>>1;k>(i^=k);k>>=1);
		if(i>j) swap(v[i],v[j]);
	}
	if(rev) {
		ll rv = modpow(n);
		FOR(i,n) v[i]=(ll)v[i]*rv%mo;
	}
	return v;
}

template<class T> vector<T> MultPoly(vector<T> P,vector<T> Q,bool resize=false) {
	if(resize) {
		int maxind=0,pi=0,qi=0,i;
		int s=2;
		FOR(i,P.size()) if(norm(P[i])) pi=i;
		FOR(i,Q.size()) if(norm(Q[i])) qi=i;
		maxind=pi+qi+1;
		while(s*2<maxind) s*=2;
		P.resize(s*2);Q.resize(s*2);
		if(s<=16) { //fastpath
			vector<T> R(s*2);
			for(int x=0;x<2*s;x++) for(int y=0;x+y<2*s;y++) (R[x+y]+=P[x]*Q[y])%=mo;
			return R;
		}
	}
	P=fft(P), Q=fft(Q);
	for(int i=0;i<P.size();i++) P[i]=(ll)P[i]*Q[i]%mo;
	return fft(P,true);
}


ll P[2020][2020];
ll G[2020];
const int NUM_=400001;
static ll fact[NUM_+1],factr[NUM_+1],inv[NUM_+1];

ll comb(ll N_, ll C_) {
	if(C_<0 || C_>N_) return 0;
	return factr[C_]*fact[N_]%mo*factr[N_-C_]%mo;
}

void solve() {
	int i,j,k,l,r,x,y; string s;

	inv[1]=fact[0]=factr[0]=1;
	for (int i=2;i<=NUM_;++i) inv[i] = inv[mo % i] * (mo - mo / i) % mo;
	for (int i=1;i<=NUM_;++i) fact[i]=fact[i-1]*i%mo, factr[i]=factr[i-1]*inv[i]%mo;
	
	cin>>N;
	FOR(i,N) {
		cin>>x;
		A[x]++;
	}
	
	
	int S;
	FOR(i,N+1) {
		int M=N-i;
		vector<ll> X(N+1),XR(N+1),Y(N+1);
		FOR(x,N+1) {
			X[x]=x;
			XR[x]=N-x;
		}
		for(int k=0;k<=M;k++) Y[N-k]=factr[M-k]*factr[k]%mo;
		ll a=fact[i]*fact[N-i]%mo*modpow(N*modpow(2,N)%mo)%mo;
		vector<ll> Z=MultPoly(X,Y,1);
		vector<ll> ZR=MultPoly(XR,Y,1);
		FOR(x,i+1) {
			(P[i][i-x+1]+=Z[x+N]*a%mo*factr[x]%mo*factr[i-x])%=mo;
			(P[i][i-x]+=ZR[x+N]*a%mo*factr[x]%mo*factr[i-x])%=mo;
		}
	}
	
	
	ll ret=0;
	for(i=1;i<=N;i++) {
		ll a=mo-modpow(N);
		FOR(j,i) {
			a-=G[j]*(P[i-1][j]-((i-1)==j))%mo;
		}
		G[i]=(a%mo+mo)%mo*modpow(P[i-1][i])%mo;
		FOR(j,N+1) if(A[j]==i) ret+=G[i];
	}
	ret+=mo-G[N];
	cout<<ret%mo<<endl;
	
	
}

まとめ

Writer解コードも欲しかったな。